Calcolo derivata con la definizione

[HowardRoark]

Devo calcolare, applicando la definizione, la derivata di $y=sin^3(x)$.

$lim_(h->0) (sin^3(x+h) - sin^3 (x))/h => lim_(h->0) (sin(x+h) * sin(x+h) * sin(x+h) - sin^3 (x))/h => lim_(h->0) ((sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h))^3 - sin^3 (x))/h => lim_(h->0) (sin^3 (x) - sin^3 (x))/ h = 0$.

Ovviamente il risultato è sbagliato, ma non riesco a capire dove stia sbagliando...

CORREGGO: mi sono appena accorto che il limite è nella forma indeterminata $0/0$, non credo che i miei calcoli siano sbagliati (a parte quello di concludere che il limite faccia $0$ ovviamente...)

[Bokonon]

E' una funzione composta...perchè non applicare la derivazione composta allora?
Anch'essa si deriva dalla definizione di derivata sostituendo $u(x)=sin(x)$

[SirDanielFortesque]

Lui probabilmente deve applicare la definizione per qualche insano motivo.


Fai così:

$A^3-B^3=(A-B)*(A^2+AB+B^2)$

Quindi

$lim_(h->0)[sen^3(x+h)-sen^3(x)]/h=$

$=lim_(h->0)[(sen(x+h)-sen(x))*(sen^2(x+h)+sen(x+h)*sen(x)+sen^2(x))]/h=$

$=3*sen^2(x)*lim_(h->0)[sen(x+h)-sen(x)]/h$

penso a questo punto possa continuare da solo.

Puoi trasformare in un prodotto il numeratore con le formule di prostafaresi o appellarti alle derivate notevoli dato che servono a non fare ogni volta il rapporto incrementale.

[HowardRoark]

Grazie per i commenti.

L'esercizio prevede di usare la definizione di derivata, quindi è proprio così che devo svolgerlo. Poi starei facendo esercizi del genere per approfondire l'argomento, e ovviamente non so discernere gli esercizi veramente utili da quelli pedanti (= cerco di risolvere tutto quello che mi capita, anche facendomi un po' del male, per es. perdendo un'ora nel calcolare una derivata lunghissima)

[SirDanielFortesque]

Questo esercizio volendo era anche bellino con la differenza di cubi però oggettivamente non lo vedo molto utile ai fini pratici.

L'idea del prof. Betti (uno dei tanti Betti) in merito credo sia una regola da seguire per tutti:
http://www.ripmat.it/avve/avvert.html

[HowardRoark]

Mi trovo d'accordissimo con l'articolo. Forse per approfondire è il caso che mi compri un libro di analisi serio...

[SirDanielFortesque]

Faresti solo che bene.

[HowardRoark]

$lim_(h->0)[sen^3(x+h)-sen^3(x)]/h=$

$=lim_(h->0)[(sen(x+h)-sen(x))*(sen^2(x+h)+sen(x+h)*sen(x)+sen^2(x))]/h=$

$=3*sen^2(x)*lim_(h->0)[sen(x+h)-sen(x)]/h$

Riprendendo il tuo procedimento, arrivo a $lim_(h->0) (sinx*cosh + cosx*sinh - sinx)/h => lim_(h->0) (sinx - sinx)/h$, e quindi sempre una forma indeterminata $0/0$...

[SirDanielFortesque]

Siamo arrivati qua.

$ =3*sen^2(x)*lim_(h->0)[sen(x+h)-sen(x)]/h $


Poi come ti avevo scritto sarebbe da usare le formule di prostafaresi per calcolare il limite che resta da calcolare, ovvero:

$lim_(h->0)[sen(x+h)-sen(x)]/h$


E la formula di prostafaresi non è la formula di addizione.

La formula che ti interessa è questa:

$sen(p)-sen(q)=2*sen((p-q)/2)*cos((p+q)/2)$

Sostituisci nella formula:

$sen(x+h)-sen(x)=2*sen((x+h-x)/2)*cos((x+h+x)/2)=$

$=2*sen(h/2)*cos((2x+h)/2)=2*sen(h/2)*cos(x+h/2)$


Torniamo al nostro limite:

$lim_(h->0)[sen(x+h)-sen(x)]/h=lim_(h->0)[2*sen(h/2)*cos(x+h/2)]/h=cos(x)*lim_(h->0)[(sen(h/2))/(h/2)]=cos(x)$


Quindi globalmente... dai che manca solo un passaggio. Quanto faceva il rapporto incrementale???

[Bokonon]

$sin(x) lim_(h->0) h(cos(h)-1)/h^2 +cos(x)lim_(h->0) sin(h)/h=sin(x)*0*(-1/2)+cos(x)*1$