Risoluzione sistema lineare con parametro k

[Marco1005]

Ciao a tutti,
avrei gentilmente bisogno di un imput per risolvere questo sistema con il parametro k;
Determinare per quali valori di k il seguente sistema risulta determinato, senza però risolverlo:

$(k-2)x + 3ky =k$
$8x+4y=-1$

il risultato è
$ k!= -2/5 $

come diavolo farei senza risolverlo????

[ProPatria]

Ciao
Credo sia comodo analizzare la situazione dal punto di vista grafico. Quelle sono le equazioni di due rette (con un parametro k). Risolvendo il sistema stai praticamente cercando le coordinate (x e y) del punto di intersezione tra le due. Ricorda però che non sempre due rette hanno un punto di intersezione! In pratica se k è tale che le due rette abbiano lo stesso coefficiente angolare queste rette (cioè le due equazioni del sistema) sono parallele e nel caso in cui "non si toccano" (cioè non sono coincidenti) allora è chiaro che il sistema non ha soluzioni per quel valore di k.

[@melia]

Un sistema $\{(ax + by = c),(a'x+b'y = c'):}$ è determinato se $a/(a') !=b/(b')$, o, come ha detto ProPatria, le rette si intersecano.

Se $a/(a')=b/(b')=c/(c')$ il sistema è indeterminato, che equivale ad avere due rette parallele coincidenti, dove tutti i punti delle rette sono soluzione.

Se $a/(a')=b/(b')!=c/(c')$ il sistema è impossibile, cioè le due rette sono parallele distinte, e non hanno punti in comune.

Comunque, Marco, studiare un po' la teoria, prima di buttersi a risolvere esercizi, non fa male.

[Marco1005]

Premetto che prima di fare esercizi leggo sempre la teoria, soprattutto perchè in questo periodo ho dato ripetizioni a due ragazzi proprio su retta, parabola e sistemi lineari, equazioni parametriche.
Tra gli esercizi affrontanti non sono di certo mancati quelli con il parametro k.
Solitamente gli esercizi sulla retta che non prevedevano calcoli, venivano risolti utilizzando solamente l'analisi grafica (es. le due retta si incrociano nel punto 1,2 - )
Il mio problema non è risolvere il sistema con il parametro k, bastava porre il coefficiente angolare della prima equazione (con k) diverso dal coefficiente angolare della retta nota (altrimenti non si sarebbero mai incontrate); il mio problema era arrivare alla soluzione senza risolverlo (come citava l'esercizio)
Senza risolvere, in italiano significa senza fare calcoli di nessun genere (cosa fattibile quando si hanno due rette da rappresentare nel piano cartesiano)
In questo caso il mio dubbio era appunto come fosse possibile rappresentare la prima retta, avendo un parametro k incognito, e quindi come giungere alla soluzione senza fare nessun tipo di conteggio.

[3m0o]

Premetto che prima di fare esercizi leggo sempre la teoria, soprattutto perchè in questo periodo ho dato ripetizioni a due ragazzi proprio su retta, parabola e sistemi lineari, equazioni parametriche.
Tra gli esercizi affrontanti non sono di certo mancati quelli con il parametro k.
Solitamente gli esercizi sulla retta che non prevedevano calcoli, venivano risolti utilizzando solamente l'analisi grafica (es. le due retta si incrociano nel punto 1,2 - )
Il mio problema non è risolvere il sistema con il parametro k, bastava porre il coefficiente angolare della prima equazione (con k) diverso dal coefficiente angolare della retta nota (altrimenti non si sarebbero mai incontrate); il mio problema era arrivare alla soluzione senza risolverlo (come citava l'esercizio)
Senza risolvere, in italiano significa senza fare calcoli di nessun genere (cosa fattibile quando si hanno due rette da rappresentare nel piano cartesiano)
In questo caso il mio dubbio era appunto come fosse possibile rappresentare la prima retta, avendo un parametro k incognito, e quindi come giungere alla soluzione senza fare nessun tipo di conteggio.

Puoi benissimo utilizzare il criterio datoti da melia, oppure potevi benissimo utilizzare il metodo grafico che avevi fin qui utilizzato. La domanda è capire per quali valori di \( k \) il sistema da te descritto è determinato. Ovvero quando le due rette
\( a: y=-2x-\frac{1}{4} \) e \( b: y= \frac{2-k}{3k}x + \frac{1}{3} \), supponendo \(k \neq 0 \) si intersecano in un unico punto.
Allora un sistema come quello a due incognite e due equazioni è determinato quando le due rette si intersecano in un punto. È indeterminato se le due rette sono le medesime ed infine è impossibile se le due rette sono parallele con termine noto distinti, siccome i due termini noti sono distinti è immediato che non esiste nessun valore di \( k \) che renda le due rette coincidenti. Pertanto come dici bene te bastava porre \( -2 \neq \frac{2-k}{3k} \Rightarrow k\neq - \frac{2}{5} \). Poi discuti il caso particolare \( k = 0 \) e ottieni il sistema
\[ \left\{\begin{matrix}
-2x &= & 0 \\
8x+4y&=&-1
\end{matrix}\right.\]
Che è chiaramente un sistema di equazioni determinato.

Ti faccio notare che così facendo non stai risolvendo il sistema! Stai trovando i valori di \( k \in \mathbb{R} \) per cui il sistema è determinato, che sono due cose molto diverse. Risolvere il sistema vorrebbe dire trovare un insieme soluzione \(S(k)\) dipendente da \( k \) di punti che sono soluzione del sistema parametrico, nel senso che ad ogni \(k \in \mathbb{R} \) hai un insieme soluzione associato a quel \( k \). Ad esempio \( S(k):=\{ (x(k),y(k)) \in \mathbb{R}^2 : x(k)=-\frac{7k}{4(5k+2)} \wedge y(k)=\frac{9k-2}{4(5k+2)} \} \) se e solo se \( k \in ]-\infty,-\frac{2}{5}[ \cup ]-\frac{2}{5}, + \infty [ \) e \( S(-\frac{2}{5})=\emptyset \), questo è risolvere il sistema.
Ad esempio se \( k=0 \) allora \( x(0)=0, y(0)=-\frac{1}{4}\) e dunque \( S(0)=\{ (0,-1/4) \} \)

Edit:
L'enunciato ti dice esplicitamente di determinare i valori di \( k \) senza risolvere il sistema perché potresti anche risolverlo algebricamente senza fare alcun tipo di ragionamento geometrico (e quindi senza capire ) e dirsi una volta trovato il risultato, a denominatore di \( x(k) \) e di \( y(k) \) ho l'espressione \( 4(5k+2) \) che è uguale a zero se \( k = - \frac{2}{5} \), non si può dividere per zero, quindi il sistema è determinato per tutti i valori di \( k \in ]-\infty,-\frac{2}{5}[ \cup ]-\frac{2}{5}, + \infty [ \). Ma in questo modo anche una macchina potrebbe risolverlo, non c'è ragionamento, non c'è comprensione di cosa significa sistema determinato, indeterminato, impossibile

[axpgn]

Mi permetto di aggiungere qualcosa …

Senza risolvere, in italiano significa …

Attenzione: in Italiano può significare tante cose ma in Matematica o meglio in un esercizio, in un teorema, ecc. ha un significato preciso, ristretto e soprattutto ben definito.
In Matematica anche le virgole hanno un significato preciso e per niente vago quindi quando leggi qualcosa scritto in "matematichese" devi essere sempre sicuro e consapevole del significato di ogni termine (che dovrebbe essere ben definito a priori … o almeno si spera )

Cordialmente, Alex

[3m0o]

Mi permetto di aggiungere qualcosa …

Senza risolvere, in italiano significa …

Attenzione: in Italiano può significare tante cose ma in Matematica o meglio in un esercizio, in un teorema, ecc. ha un significato preciso, ristretto e soprattutto ben definito.
In Matematica anche le virgole hanno un significato preciso e per niente vago quindi quando leggi qualcosa scritto in "matematichese" devi essere sempre sicuro e consapevole del significato di ogni termine (che dovrebbe essere ben definito a priori … o almeno si spera )

Cordialmente, Alex

Quoto, e senza risolvere, in questo caso non significa senza fare calcoli di alcun tipo, bensì significa senza trovare l'insieme soluzione di cui ti parlavo nel mio messaggio precedente.

[Marco1005]

Avete ragione!senza risolvere voleva dire senza risolvere il sistema