In generale non so, però per l'ellisse ho visto una dimostrazione che trovo molto elegante, che per l'appunto collega la sezione del cono con il luogo geometrico.
Ti descrivo la situazione, la dimostrazione la lascio a te
(ma non è difficile)
Considera un cono (per comodità immaginalo con la punta in basso). Prendi una sfera, e la metti nel cono. Prendi un'altra sfera, abbastanza più grande, in modo che, messa nel cono non vada a toccare la prima.
Ora seziona il cono con un piano che sia tangente a entrambe le sfere. Si dimostra che il contorno del taglio ha la proprietà che, per i suoi punti, la somma delle loro distanze dai punti di tangenza con le sfere è costante: ossia è una ellisse i cui fuochi sono i punti di tangenza.