Dubbio banale con dsequazione goniometrica

[ZfreS]

Stavo ragionando su una disequazione goniometrica: $sinx>cosx$. Si può risolvere graficamente e dedurre facilmente che le soluzioni sono nell'intervallo $[pi/4+2kpi;5/4pi+2kpi]$. Ma mi è sorto questo dubbio: se volessi risolverla dividendo per $cosx$ ottenendo una disequazione in tangente, sarebbe lecito?

[Zero87]

sarebbe lecito?

Certo che sì, però devi tener conto di due cose. Ma faccio prima a dirtelo.

La prima cosa è che, trattandosi di disequazione meglio non dividere - c'è la questione del cambio di verso se dividi per quantità negative - quindi puoi dire che raccogli.
$sin(x)>cos(x)$ -> $sin(x)-cos(x)>0$ -> $cos(x)(sin(x)/cos(x)-1)>0$
come detto non tolgo il coseno ma lo raccolgo.
La seconda cosa è vedere nella disequazione iniziale se $cos(x)=0$ è soluzione. In realtà andava fatto prima di raccogliere e dividere, ma l'importante è farlo. $cos(x)=0$ per $x = pi/2 + k \pi$. In questo caso $x= pi/2$ soddisfa la disequazione iniziale mentre $x= 3/2 \pi$ no. Quindi ricordiamoci che $x=pi/2 + 2k\pi$ è soluzione e c'è da unirla: lo dico perché quando raccogli che poi dividi per il coseno, questa te la perdi perché non fa parte del dominio della scrittura che ottieni.

A questo punto, tenendo conto di quanto detto, hai $cos(x)(tan(x)-1)>0$ da studiare con un classico studio del segno... e via.

[axpgn]

Si fa prima a occhio

[Zero87]

Si fa prima a occhio

C'è del vero.

[ZfreS]

Certo che si fa ad occhio, ma volendo anche complicare le cose, dividendo per $cosx$ bisogna dividere in due cosi: uno in cui è maggiore e un in cui è minore, giusto?

[axpgn]

Essere precisi in Matematica non è importante, è fondamentale ... "due cosi: uno in cui è maggiore e un in cui è minore": ma che cos'è?

[ZfreS]

Intendevo dividere o studio in due disequazioni: $sinx/cosx>0$ e $sinx/cosx<0$

[@melia]

Intendevo dividere o studio in due disequazioni: $sinx/cosx>0$ e $sinx/cosx<0$

No.
Stai dividendo per coseno, quindi solo $cosx >0$ e $cosx<0$, inoltre devi considerare il caso in cui $cosx=0$

[axpgn]

Intendevo dividere LO studio in due disequazioni: ${(sinx/cosx>1\text( se )cos(x)>0),(sinx/cosx<1\text( se )cos(x)<0):}$

Ah, questo intendevi … sai che non l'avevo capito?

[ZfreS]

Bene, adesso ho capito, grazie a entrambi!