Aiuto dimostrazione proprietà associayiva

[Aletzunny]

A lezione ci è stato dato questo esercizio che non riesco a risolvere.

Dato $A={a+bsqrt(2) : a,b in Q}$ e sapendo che $A$ è un campo dimostrare che per ogni $ a+bsqrt(2), c+dsqrt(2)$ $in$ $A$ vale la proprietà associativa per le seguenti operazioni:

$1)$ $(a+bsqrt(2))+ (c+dsqrt(2))=(a+c)+(b+d)*sqrt(2)$

$2$ $(a+bsqrt(2))*(c+dsqrt(2))=(a*c+2b*d)+(a*d+c*b)*sqrt(2)$

Non avendo mai fatto esercizi simili non ho idea su come procedere...potreste darmi qualche consiglio e aiuto su come procedere?
Grazie

[axpgn]

Non è niente di particolare ... la proprietà associativa dell'usuale addizione tra interi è $(p+q)+r=p+(q+r)$ e si dimostra, per esempio, scrivendo il membro di sinistra e tramite le operazioni algebriche permesse, ottenere il secondo membro (o viceversa).
Nel tuo caso devi fare lo stesso.

[Aletzunny]

Dato l'ovvietà del calcolo e l'abitudine ad applicarla, non ho ben capito come devo agire per dimostrarla e non cadere in contraddizione...
Quindi nel mio caso dovrei partire dai termini di sinistra ma poi, per abitudine, continuerei e applicherei ciò che in realtà devo dimostrare

[Aletzunny]

Per la $1)$ ho fatto così ma non sono sicuro

$a+bsqrt(2)+c+dsqrt(2)$=$a+c+sqrt(2)(b+d)$=$(a+c)+(b+d)sqrt(2)$...

È giusta?

Mentre per la $2$ non so come fare...

[@melia]

È un campo, quindi vale la distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione. E le operazioni sono anche commutative.

[Aletzunny]

La $1)$ è corretta però?
Adesso riprovo la $2)$

[Aletzunny]

La $2)$ non so ho provato così

$a*c+b*c*sqrt(2)+a*d*sqrt(2)+b*d*sqrt(2)*sqrt(2)$=$ac+2bd+sqrt(2)*(bc+ad)$=$(ac+2bd)+(bc+ad)sqrt(2)$

[axpgn]

Allora … io inizierei a riscrivere l'insieme $A$ così $ A={x | x=a+sqrt(2)b; a,b in QQ; x in RR} $ in modo da distinguere meglio gli elementi di $A$ dai parametri che servono per costruirli.
Poi, sempre per chiarezza, userei un altro simbolo per le NUOVE operazioni definite su quell'insieme.

Per esempio la $1)$ la riscriverei così, dove $ʘ$ è la nuova operazione, $x=a+sqrt(2)b, y=c+sqrt(2)d$ sono due elementi generici di $A$, $z$ è il risultato della (nuova) operazione (sempre un elemento di $A$) e $a, b, c, d, p, q$ sono razionali.

$ 1)\ \ \ x ʘ y = (a+sqrt(2)b) ʘ (c+sqrt(2)d)=(a+c)+sqrt(2)(b+d)=p+sqrt(2)q=z $

Definita la nuova operazione $ʘ$ adesso va dimostrato che è associativa, ovvero che questa uguaglianza $(x+y)+z=x+(y+z)$ è sempre vera qualsiasi terna di elementi di $A$ vengano scelti (come potevi dimostrare l'associatività di quell'operazione se usavi solo due elementi? )

$[xʘy]ʘz=[(a+sqrt(2)b) ʘ (c+sqrt(2)d)]ʘ(e+sqrt(2)f)=[(a+c)+sqrt(2)(b+d)] ʘ (e+sqrt(2)f)=$

$=((a+c)+e)+(sqrt(2)(b+d)+sqrt(2)f)=(a+(c+e))+(sqrt(2)b+sqrt(2)(d+f))=$

$=(a+sqrt(2)b)ʘ[(c+e)+sqrt(2)(d+f)]=(a+sqrt(2)b)ʘ[(c+sqrt(2)d)ʘ(e+sqrt(2)f)]=$

$=xʘ[yʘz]$

Adesso prova tu con l'altra …

[Aletzunny]

Ho provato con la moltiplicazione e credo di essere riuscito...ma è normale che mi siano usciti un po' di passaggi e raccoglimenti?

[axpgn]

Se non ce li fai vedere ...