Problema con derivata seconda

[ironhak]

Salve a tutti, sono incappato in un esercizio dal quale non riesco ad uscire. Si tratta di eseguire la derivata seconda di $ sqrt(e^(2x)+1)$ .

Nell'eseguire la derivata prima non ho avuto particolari insidie, infatti è risultata $ (e^(2x))/(sqrt(e^(2x)+1)) $ come da soluzione dell'esercizio.

Nel momento in cui vado a calcolare la derivata seconda mi escono sempre soluzioni diverse da quella del libro che è $ (e^(2x)(e^(2x)+2))/(e^(2x)+1)^(3/2) $

Per favore qualche buon anima potrebbe illustrarmi i passaggi necessari per arrivare alla soluzione? Grazie in anticipo.

[@melia]

Posta la derivata prima, così possiamo vedere se almeno quella è corretta, o se i problemi nascono già all'inizio.

[ironhak]

Per la derivata prima ho eseguito $ (1)/(2sqrt(e^(2x)+1))2e^(2x) $

Inglobando il tutto nella frazione e semplificando il 2 esce $ (e^(2x))/(sqrt(e^(2x)+1)) $

[@melia]

Ok. La derivata prima è corretta.
Vai con la derivata seconda.

[ironhak]

Ok
io eseguo $ (2e^(2x) * sqrt(e^(2x)+1)-e^(2x) * ((1)/(2sqrt(e^(2x)+1))* 2e^(2x)))/(e^(2x)+1)$
Da qui non riesco più ad andare avanti

[@melia]

Un bel denominatore comune, perché è giusta.
$ (2e^(2x) * sqrt(e^(2x)+1)-e^(2x) * ((1)/(sqrt(e^(2x)+1))* e^(2x)))/(e^(2x)+1)= $

$=(2e^(2x) * (sqrt(e^(2x)+1))^2-e^(4x))/(sqrt(e^(2x)+1))*1/(e^(2x)+1)=$

$=(2e^(2x) * (e^(2x)+1)-e^(4x))/(sqrt(e^(2x)+1))*1/(e^(2x)+1)=$

$=(2e^(4x) +2e^(2x)-e^(4x))/(sqrt(e^(2x)+1)*(e^(2x)+1)=$

$=(e^(4x) +2e^(2x))/(e^(2x)+1)^(3/2)=$

$=(e^(2x) (e^(2x)+2))/(e^(2x)+1)^(3/2)$

[ironhak]

Grazie per la risposta. Dal secondo passaggio in poi mi è tutto chiaro, ma non capisco perchè nel primo è sparita la radice quando ha portato fuori $(1/sqrt(e^(2x)+1)) $
e come mai $ sqrt(e^(2x)+1) $ è diventato alla seconda?

[@melia]

Ti ho detto, ho fatto solo il denominatore comune a numeratore
$a*sqrtb-c/sqrtb=(a*(sqrtb)^2-c)/sqrtb$

Ho solo messo in fondo il vecchio denominatore altrimenti veniva una cosa con troppi piani.