Problema esistenza integrale

[r4v3n]

Salve, volevo se possibile un aiuto con il seguente integrale, non capisco se devo calcolarlo come integrale improprio oppure no.
L'integrale è il seguente: $ int_(4)^(0) (sqrt(x+1) + xxlog(x)) dx$

l'integrale in teoria non è definito per l'estremo superiore di integrazione, infatti se si fa il dominio della funzione si avrà x >0, quindi quello che mi chiedo il seguente integrale non è calcolabile come definito ma è calcolabile come improprio giusto? Oppure sto sbagliando tutto?


Per prima cosa avevo diviso l'integrale, applicato la regola di integrazione immediata per $ int_(4)^(0) (sqrt(x+1) dx$ e poi avevo integrato per parti $ int_(4)^(0) (xlog(x) dx $ consideranto x come g'(x) e log(x) come f(x).
Se vado a calcolarlo in quell' intervallo viene log(0) e ovviamente non esiste quindi io credo che vada pensato come un improprio il mio ragionamento è giusto?

[Bokonon]

Immagino tu intendessi dire che il dominio della integranda è $x>0$
La parte con la radice è poco importante e l'avrai risolta.
Per quanto riguarda $-int_0^4 xln(x) dx$ lo riscrivi come:
$-lim_(a->0) int_a^4 xln(x) dx=-[-1/2lim_(a->0) a^2ln(a)+16ln(2)-4]=4-16ln(2)$

Dovresti conoscere questo limite:
$lim_(x->0) x^nln(x)=0$

[r4v3n]

Immagino tu intendessi dire che il dominio della integranda è x>0

si, avevo fatto velocemente il sistema e mi sono sbagliato.

Perfetto, ho capito un pochino meglio ti ringrazio infinitamente l'unica cosa che non ho capito bene è il limite.
Inoltre volevo la conferma su questa cosa, se la funzione integranda non è definita tra gli estremi di integrazione come in questo caso devo fare l'integrale improprio eventualmente anche scambiando gli estremi di integrazione giusto?

scambiandoli con la regola: int_(a)^(b) f(x) dx = - int_(b)^(a) f(x)dx

[Bokonon]

Cambiare gli estremi di integrazione è pura cosmetica...a me piace così ma imparare a scrivere (e spezzare) gli integrali impropri con le notazioni corrette no IMHO.
https://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_improprio
Almeno all'inizio servirà a capire cosa stai facendo, poi farai come fanno tutti e salterai questo passaggio perchè sai che implicito.

[Bokonon]

A proposito, in modo più generale $lim_(x->0) x^nln^m(x)=0$ per ogni n,m naturali positivi.
Studiatelo, appare spesso