Geometria di base:dimostrazioni con segmenti.

Messaggioda Stillife » 20/03/2020, 11:36

Ciao a tutti, spero stiate bene!
Desidero proporvi queste mie tre dimostrazioni su problemi di geometria di base.

È la prima volta che mi cimento in questo tipo di esercizio, per cui non sono sicuro di essere riuscito a dimostrare quanto richiesto.


1) Siano AB e CD due segmenti congruenti disposti su una retta r, non aventi punti in comune. Dimostra che AC congruente a BC


Immagine



Considero che

$AD=AB+BC+CD$

$AC≅AD-CD$

$BD≅AD-AB$

Dal momento che $AB≅CD$, avremo:

$AC≅AD-AB$

$BD≅AD-CD$, dunque

$AD-CD≅AD-AB$, che è come dire $AC≅BD$

2)Siano AB e CD due segmenti congruenti disposti su r, non aventi punti in comune e in modo che AB preceda CD.Dimostra che il punto medio di BC è il punto medio di AD.


Immagine



Considero che:

$AM≅AD-AM$

$BM≅BC-BM$

Dal momento che $AB≅CD$

$MD≅AD-AM$

$MC≅BC-BM$, dunque:

$AM≅MD$ e $BM≅MC$

3)Siano AB e CD due segmenti congruenti adiacenti, siamo M ed N i rispettivi punti medi, dimostra che MN è congruente a CD.


Immagine


Considero che:

$AB=AM+MB$

Dal momento che $AB≅CD$, avremo che:

$CD=CN+ND$, Considerato che $AB$ e $CD$ sono adiacenti avremo che:

$MN≅AB$, e di conseguenza $MN≅CD$.

Di questa avrei un'alternativa:

Considero che:

$AB=AM+MB$

Dal momento che $AB≅CD$, avremo che:

$CD=CN+ND$, dal momento che $AB$ e $CD$ sono adiacenti avremo che:

$MC≅CN$

$AB≅MC+CN$, dal momento che $MC+CN=MN$ e che $AB≅CD$, allora:

$CD≅MN$
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Re: Geometria di base:dimostrazioni con segmenti.

Messaggioda Stillife » 23/03/2020, 10:31

Nessuno?
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Re: Geometria di base:dimostrazioni con segmenti.

Messaggioda gugo82 » 23/03/2020, 11:07

Stillife ha scritto:1) Siano AB e CD due segmenti congruenti disposti su una retta r, non aventi punti in comune. Dimostra che AC congruente a BC BD


Immagine



Considero che

$AD=AB+BC+CD$

$AC≅AD-CD$

$BD≅AD-AB$

Dal momento che $AB≅CD$, avremo:

$AC≅AD-AB$

$BD≅AD-CD$, dunque

$AD-CD≅AD-AB$, che è come dire $AC≅BD$

Più semplice:

$AC = AB + BC cong CD + BC = BD$,

in cui la prima e l'ultima uguaglianza vengono dalla definizione di somma di segmenti1 e la congruenza nel mezzo deriva dall'ipotesi $AB cong CD$ e dal teorema che assicura che somme di segmenti congruenti sono congruenti.

Stillife ha scritto:2)Siano AB e CD due segmenti congruenti disposti su r, non aventi punti in comune e in modo che AB preceda CD.Dimostra che il punto medio di BC è il punto medio di AD.


Immagine



Considero che:

$AM≅AD-AM$

$BM≅BC-BM$

Dal momento che $AB≅CD$

$MD≅AD-AM$

$MC≅BC-BM$, dunque:

$AM≅MD$ e $BM≅MC$

Uguale a sopra:

$AM = AB + BM cong CD + MC = MD$

in cui la prima e l'ultima uguaglianza vengono dalla definizione di somma e la congruenza nel mezzo dalle ipotesi $AB cong CD, BM cong MC$ e dal teorema sulla somma di segmenti congruenti; quindi $M$ è medio anche di $AD$ (per postulato).

Non controllo il terzo, perché credo si possa scorciare come gli altri due.
Prova da solo.

Un consiglio: riassumiti le ipotesi e le tesi accanto alla figura e sulla figura segnati graficamente ciò che sai (le ipotesi); in questo modo dovrebbe apparirti tutto più semplice.

Note

  1. Se proprio si vuole trovare il pelo nell'uovo, la prima è un'uguaglianza vera e propria, la seconda una congruenza... Ma è poco importante.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Geometria di base:dimostrazioni con segmenti.

Messaggioda Stillife » 23/03/2020, 11:29

Grazie gugo per l'aiuto. Dopo le controllo a dovere.

Comunque, per quanto riguarda le due da te verificate, le mie valgono come dimostrazioni, nonostante siano, forse, prolisse o ineleganti?
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