rotazione data dalla somma di rue rotazioni

Messaggioda nightingales » 20/03/2020, 15:48

qualcusa sa dirmi , o indirizzarmi quale parte teorica devo studiare, per trovare la rotazione risultante della somma di due rotazione. Somma intesa come eseguo la prima e poi la seconda rotazione.
Conosco il centro x1,y1 e l' angolo alpha della prima rotazione , il centro x2,y2 e l' angolo beta della seconda rotazione.
c'è un modo per trovare x3,y3 e angolo gamma che da come risultato lo stesso della sequenza di rotazione 1 e rotazione 2?

grazie
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Re: rotazione data dalla somma di rue rotazioni

Messaggioda gugo82 » 20/03/2020, 15:51

Che strumenti hai a disposizione?

Stai studiando le trasformazioni del piano cartesiano e le loro rappresentazioni con le matrici?
O Geometria euclidea?
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Re: rotazione data dalla somma di rue rotazioni

Messaggioda nightingales » 20/03/2020, 17:25

gugo82 ha scritto:Che strumenti hai a disposizione?

Stai studiando le trasformazioni del piano cartesiano e le loro rappresentazioni con le matrici?
O Geometria euclidea?


Geometria euclidea .
devo poi inserire la formula in un programma
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Re: rotazione data dalla somma di rue rotazioni

Messaggioda gugo82 » 21/03/2020, 19:54

Vabbé... Allora scriviamo le cose in coordinate e vediamo che ne viene fuori sinteticamente.

Chiamiamo $rho_1$ e $rho_2$ le due rotazioni, ognuna avente centro $C_i=(x_i,y_i)$ ed angolo di rotazione $0<= theta_i <2pi$; la rotazione $rho_i$ si rappresenta con la matrice $R_i = ((cos theta_i, sin theta_i), (-sin theta_i, cos theta_i))$.
Il punto $P=(x,y)$ generico del piano si trasforma in $P^** = C_1 + R_1 * P$ mediante $\rho_1$ e $P^**$ si trasforma in $P^\prime = C_2 + R_2* P^**$; quindi la composizione $rho_2 circ rho_1$ manda $P$ in $P^\prime = C_2 + R_2*C_1 + R_2*R_1*P$. Facendo i conti si vede che $R_2*R_1$ è una matrice di una rotazione di angolo $theta_1+theta_2$, perciò la composizione $rho_2 circ rho_1$ è una rotazione di angolo $theta_1+theta_2$ di centro $C_2+R_2*C_1$.
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