Problema con parabole e triangoli

[a42bbbb]

Problema :
Data la parabola di eq : $ y=-x^2 + 4x + 5 $ determina :
a) le interezioni della pararola con la retta di eq $ y=-x+5 $ i punti A B ( indica con A il punto di ascissa minore).

b) un punto P sull'arco di parabola AB in modo che il triangolo OPB abbia area 20 .
(non dice nulla su O quindi è l'origine)

il mio problema :
come trovo il punto P ?, una retta sarà del tipo $y=mx$ dato che passa per O ma in generale non riesco a impostare l'equazione finale perchè non so qual'è la base e l'altezza.
Grazie

[peppelink]

Problema :
Data la parabola di eq : $ y=-x^2 + 4x + 5 $ determina :
a) le interezioni della pararola con la retta di eq $ y=-x+5 $ i punti A B ( indica con A il punto di ascissa minore).

b) un punto P sull'arco di parabola AB in modo che il triangolo OPB abbia area 20 .
(non dice nulla su O quindi è l'origine)

il mio problema :
come trovo il punto P ?, una retta sarà del tipo $y=mx$ dato che passa per O ma in generale non riesco a impostare l'equazione finale perchè non so qual'è la base e l'altezza.
Grazie

Mettendo a sistema la parabola e la retta dovrebbe uscire A(0;5) e B(5;0).
A quel punto il triangolo OPB avrà come base OB (di lunghezza pari a 5). Affinché l'area sia 20, l'altezza deve quindi essere pari a 8.
Ponendo y = 8 nell 'equazione della parabola (la traccia dice che P appartiene all' arco AB della parabola) esce P(1,8) oppure P(3,8).

[mgrau]

Si dà il caso che la retta intersechi la parabola nei due punti A(0,5) e B(5,0). Quindi la base OB ce l'hai e vale 5. Devi solo trovare P in modo che abbia y = 8, e ce ne sono due, (1,8) e (3,8)

[3m0o]

Hai fatto un disegno della situazione? Aiuta sempre. Nello spoiler ho fatto un disegno, magari ora riesci a capire come fare. \( P \) l'ho messo in un punto qualsiasi sull'arco della parabola.
Sai che \(P \) giace sulla parabola quindi se esprimo in funzione di un parametro \( t \) le sue coordinate \( P(t)=(x(t),y(t) ) \) sono
\[ \left\{\begin{matrix}
x(t)&= &t & \text{con}& 0 \leq t < 5 \\
y(t) &= & \text{???} &
\end{matrix}\right.
\]

Come ti ha già detto mgrau \( y(t) = 8\), perché l'area del triangolo la calcoli \( A(t)=\frac{5 \cdot y(t)}{2} \) e sai che quest'ultima dev'essere uguale a 20. Se riesci ad esprimere \( y(t) \) in funzione di \(t \) poi risolvi un equazione e trovi le soluzioni, ovvero \(P(1)=( x(1)=1 , y(1)=8)\) e \(P(3)=(x(3)=3, y(3)=8) \).
NB: \( y(t) \) rappresenta l'altezza \( P' P \) nel mio disegno.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

immagine

[a42bbbb]

Grazie