Problema di Geometria Analitica nello Spazio

[MarcoBlue]

Ciao a tutti
Avrei bisogno d'aiuto nello svolgimento di un quesito proveniente dal testo Matematica.Blu degli autori Bergamini-Trifone-Barozzi di Quarta Superiore Liceo Scientifico. Il testo è il seguente:
Considera la retta $ { ( x-z=1 ),( y=2z ):} $ e il punto di coordinate $ P=(1;1;2) $. Calcola la distanza di $ P $ da $ r $ .
Ho pensato di considerare un piano sul quale giace la retta, per poi calcolare la distanza di un punto da un piano tramite la ben nota formula. Quindi per determinare l'equazione del piano utilizzo un sistema di equazioni in cui impongo:
-il parallelismo fra la retta e il piano
-l'esistenza di un punto appartenente sia alla retta che al piano
però qui mi blocco, non capisco quale punto io debba considerare.

Grazie in anticipo per le risposte.

[mgrau]

Scrivi la distanza di un punto generico della retta da P, $D(x,y,z) = sqrt((x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2)$
esprimi tutto in funzione di x per esempio, viene (se non ho sbagliato) $D^2 = 6x^2 -16x + 14$
La distanza di P dalla retta corrisponde al minimo di questa funzione, che si ha, derivando e uguagliando a zero, per $x = 4/3$

[MarcoBlue]

Grazie mille!

[gugo82]

Questo problema, ovviamente, si può risolvere anche con considerazioni puramente geometriche.

Innanzitutto, osserva che esiste un unico piano $pi$ perpendicolare ad $r$ che passa per $P$; detto $Q$ il punto di intersezione di $pi$ con $r$, hai $"dist"(P,r)=overline(PQ)$.
Dunque, per calcolare la distanza punto-retta $"dist"(P,r)$ ti serve:

1. determinare l'equazione del piano $pi$ passante per $P$ e perpendicolare ad $r$,
   
   
2. determinare il punto di intersezione $Q$ di $pi$ ed $r$,
   
   
3. calcolare la distanza $overline(PQ)$.

Vediamo...

1. Visto che $r:\{ (x - z = 1),(y = 2z):}$, puoi calcolare il vettore direzionale $mathbf(v)=(l,m,n)$ di $r$ passando alla forma parametrica: scegliendo di porre $z=t$, otteniamo:
   
   $r:\{(x = 1 + t), (y = 2t), (z = t):}$
   
   e le componenti del vettore direzionale $mathbf(v)$ sono i coefficienti del parametro nelle tre equazioni precedenti, i.e. $l=1$, $m=2$, $n=1$.
   Il generico piano $pi$ che passa per $P=(1,1,2)$ ha equazione del tipo:
   
   $pi: a(x-x_P) + b(y - y_P) + c(z - z_0) = 0 <=> a(x-1) + b(y-1) + c(z-2) = 0$
   
   in cui i coefficienti $a$, $b$ e $c$ sono le componenti di un vettore $mathbf(n)$ perpendicolare al piano $pi$; visto che vogliamo \(\pi \perp r\), possiamo prendere $mathbf(n) = mathbf(v)$ (cioè possiamo prendere come vettore perpendicolare a $pi$ proprio il vettore direzionale di $r$) e perciò scegliere i coefficienti $a=l=1$, $b=m=2$ e $c=n=1$; pertanto il piano $pi$ che cerchiamo ha equazione:
   
   $pi: 1(x-1) + 2(y-1) + 1(z-2) = 0 <=> x + 2y + z = 5$.
   
   
2. Per determinare il punto di intersezione di $pi$ ed $r$ basta risolvere il sistema di tre equazioni in tre incognite che si ottiene mettendo insieme le due equazioni di $r$ con quella di $pi$, cioè:
   
   $\{(x - z = 1), (y = 2z), ( x + 2y + z = 5):} <=> \{(x = 1 + z), (y = 2z), ( 1 + z + 4z + z = 5):} <=> \{(x = 5/3), (y = 4/3), (z = 2/3):}$;
   
   dunque $Q=(5/3, 4/3, 2/3)$.
   
   
3. Infine:
   
   $"dist"(P,r)=overline(PQ) = sqrt((1-5/3)^2 + (1-4/3)^2 + (2-2/3)^2) = sqrt(4/9 + 1/9 + 16/9) = sqrt(7/3) =sqrt(21)/3$
   
   è la distanza cercata.