SOS limiti

[Alessandra Mirella]

Salve! Mi sto preparando per la maturità e purtroppo con le spiegazioni di matematica tramite la didattica online ho difficoltà a capire quest'argomento. Qualcuno può aiutarmi per capire come funzionano i passaggi? Soprattutto gli ultimi tre se è possibile

[Zero87]

Benvenuta al forum, Alessandra, e buona permanenza. Visto che sei appena iscritta ti invito a leggere il regolamento del forum (trovi il link in alto nel box rosa e c'è anche il link alle formule); ti invito anche per le prossime volte a non postare immagini semplicemente perché i siti host di immagini possono togliere a propria discrezione le immagini salvate e... addio testo dell'esercizio!

Detto questo ti invito a farci vedere come hai impostato gli esercizi e/o che idee hai per affrontarli in modo che possiamo aiutarti a risolvere i tuoi dubbi.

[popetto]

Ciao Alessandra, sono anch'io uno studente di quinta e quindi cercherò di aiutarti come posso. Non risolverò tutti i tuoi limiti ma ti darò soltanto una "chiave di lettura" che a me risulta molto utile.
Il concetto alla base dei limiti trigonometrici è ricondursi ai limiti notevoli
\( \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin f(x)}{f(x)}=1 \enspace \text{e} \enspace \lim_{x\to0}\frac{1-\cos f(x)}{f^2(x)}=\frac{1}{2} \)
anche "imbrogliando" (ma sempre nel rispetto delle regole). Ad esempio il primo limite devi vederlo in questo modo:
\( \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{1}\cdot \frac{1}{\sin^2x}= \)
e poi andare a crearti da te il limite notevole:
\( \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\textcolor{red}{x^2}}\cdot \frac{\textcolor{red}{x^2}}{\sin^2x}=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot\frac{x}{\sin x}\cdot\frac{x}{\sin x} \)
Il fatto che x tenda a 0 ti permette di moltiplicare e dividere per \( \displaystyle x^2 \) (x tende a 0 ma non è 0). Similmente si può operare nel secondo limite, ricordandoti che stai cercando
\( \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin\textcolor{red}{f(x)}}{\textcolor{red}{f(x)}} \)
Gli altri non li ho visti con attenzione ma, ad esempio, l'ultimo è risolvibile applicando un metodo simile e conoscendo qualcosa sulla teoria delle successioni.
Talvolta, quando hai soltanto il seno, puoi ricorrere anche ad un metodo "poco ortodosso" per verificare il valore del limite: sin(kx) lo trasformi in kx e in questo modo puoi calcolare velocemente il limite. Il procedimento si basa sul limite notevole \( \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 \) . Utilizzalo solo per verificarne il valore.
Naturalmente, non prendere le mie parole come oro. Sicuramente vi sono delle imprecisioni in quanto detto. Se hai ancora bisogno, mostra al forum il tuo lavoro. Saranno più che lieti di aiutarti