Disequazione esponenziale

[Pemberton!]

Buonasera a tutti, credo di aver sbagliato qualcosa in questa disequazione esponenziale e non capisco cosa o dove.. Ora vi mostro come ho ragionato

$e^(3x) + e^x leq e^(2x+x^2) + e^(x^2)$

ho sostituito $ e^x = t $ e proceduto con i calcoli

$t^3 +t leq t^2 * t^2 + t^2$

ed è qui, effettuando le sostituzioni, che credo di aver sbagliato.
Semplicemente ho ragionato pensando che

$ e^(3x) = (e^x)^3 = (t)^3 | | | e^(2x+x^2) = e^(x)^2 * e^(x)^2 = (t)^2 * (t)^2 = t^4$ ecc. ecc.

Faccio raccoglimenti parziali e mi riporto a

$(t-t^2)(t^2+1) leq 0$

poi studio il segno dei due prodotti separatamente

1) $(t-t^2) leq 0 rightarrow t(t-1) geq 0 rightarrow t leq 0 vee t geq 1$

2) $1+t^2 leq 0 rightarrow n.
essuna t di R$

vado a fare il prodotto dei segni per vedere dove è minore o uguale a zero e mi trovo con

$ t leq 0 vee t geq 1 $

sostituisco $t=e^x$

e mi trovo

$e^x leq 0 vee e^x geq 1$

andando ad eliminare $e$ con il $ln$ non mi trovo con il risultato segnato sul libro, ovvero

$ 0 leq x vee x geq 1 $

Sapete dirmi dov'è l'errore? Ho paura sia nella sostituzione iniziale perchè i calcoli mi sembrano corretti... grazie in anticipo !

[mgrau]

$ e^(2x)$ e $e^(x^2)$ ti sembrano la stessa cosa?

[Pemberton!]

ed è qui, effettuando le sostituzioni, che credo di aver sbagliato.
Semplicemente ho ragionato pensando che

$ e^(3x) = (e^x)^3 = (t)^3 | | | e^(2x+x^2) = e^(x)^2 * e^(x)^2 = (t)^2 * (t)^2 = t^4$ ecc. ecc.

no ! e infatti l'ho scritto io stesso che so di aver sbagliato, ma qual'è il modo corretto di sostituire?

Sono un autodidatta, sto studiando da solo con ausilio di libri e internet, se cose del genere per voi sono così scontate, per me non lo sono.

Per esclusione ho capito che il mio ragionamento di cui sopra è errato, non c'è bisogno di risottolinearlo, ma a quello corretto non so arrivarci...

[mgrau]

Non è il caso di offendersi...
Puoi scrivere:
$x^(3x)+ e^x = e^(2x+x) + e^x = e^(2x)*e^x + e^x = (e^(2x)+1)e^x$
e
$e^(2x+x^2) + e^(x^2) = e^(2x) * e^(x^2) + e^(x^2) = (e^(2x)+1)e^(x^2)$
eccetera...

[Pemberton!]

Ci ho provato, mi ritrovo con

$(e^(2x)+1)(e^(x^2)-e^x) geq 0$

1) $e^(2x)+1 geq 0$ Per ogni x appartenente ad R, per definizione di esponenziale

2)$e^x(e^x-1) geq 0$
2a)$e^x geq 0$ per ogni x appartenente ad R, per definizione di esponenziale
2b)$e^x geq 1 rightarrow x>0$

ma continuo a non trovarmi con il risultato..

[axpgn]

$e^((x^2)) != (e^x)^2$

Continui nello stesso errore ...

[Pemberton!]

E come si fa?

[axpgn]

Riscrivila così $e^x=t, e^(x^2)=q$

[Pemberton!]

No ragazzi non sto capendo, perchè mo dovrebbe diventare a due incognite? mi state solo confondendo così

1) come si risolve $e^(2x) +1 geq 0 $ per esteso ?

2) se $e^x = t$, quando mi trovo con $e^(2x)$, come sostituisco in funzione di t la cosa?

[axpgn]

... mi state solo confondendo così ...

Se lo dici tu possiamo anche lasciar stare ... peccato perché è banale ...

$ e^(3x) + e^x leq e^(2x+x^2) + e^(x^2) $

$t^3+t<=t^2q+q$

$t(t^2+1)<=q(t^2+1)$

$t<=q$

$e^x<=e^(x^2)$

$ln(e^x)<=ln(e^(x^2))$

$x<=x^2$

$0<=x^2-x$

$0<=x(x-1)$