disequazione esponenziale irrazionale

[Pemberton!]

Buongiorno ragazzi

questa disequazione non so proprio come risolverla

$x^(sqrt(x)) leq (sqrt(x))^x$

Sapete dirmi come si fa?

[l'abatefarina]

sempre per la definizione di logaritmo, usando un base a caso maggiore di 1, ad esempio 2, la disequazione può scriversi come
$2^(log_2(x^sqrtx))<=2^(log_2(sqrtx)^x)$ che equivale a
$log_2x^(sqrtx)<=log_2(sqrtx)^x$ (perchè la base è maggiore di 1) che equivale a
$sqrtxlog_2x<=xlog_2sqrtx$ ,cioè
$sqrtxlog_2x<=1/2xlog_2x$ (perchè $sqrtx=x^(1/2)$)
adesso puoi proseguire prestando attenzione al segno non costante di $log_2x$

[Pemberton!]

Grazie !

[@melia]

Più semplicemente Posto $x>0$
la disequazione $ x^(sqrt(x)) leq (sqrt(x))^x $ diventa $x^(sqrt(x)) leq (x)^(x/2)$

Per $0<x<1$ la base è minore di uno, quindi funzione decrescente, si inverte la disuguaglianza ad esponente $sqrt(x)>= (x/2)$

Per $x>=1$, la funzione è crescente e mantiene il verso di disuguaglianza $sqrt(x)<= (x/2)$