Teorema di Euclide e Pitagora

[sfrasson]

Testo del problema:

Sia ABC un triangolo equilatero il cui lato misura a. Considera un punto P sul lato AC e traccia da P la parallela ad AB che interseca BC in Q e la parallela a BC che interseca AB in R. Determina la posizione di P in modo che $ QR^2 = 1/3a^2 $

rislutato [ $ AP=1/3 $ o $ AP=2/3a $ ]

Allora ho assegnato la variabile x al segmento AP.
Ho considerato il triangolo ACR e applicato il teorema di euclide:
$ PR^2 = AP*CP = x*(a-x) $

Quindi ho dato per scontato che QR e PR fossero uguali dato che il triangolo è equilatero:
$ 1/3a^2 = x*(a-x) $

Ma risolvendo l'equazione non viene il risultato giusto.
Cosa sto sbagliando?

[Quinzio]

Non so come affrontate a scuola questi problemi, comunque ti do una possibile soluzione.
Intanto orientiamo il triangolo $ABC$ in modo che $AC$ sia orizzontale e in basso, in un disegno ideale.
ABC sono in senso orario.
A questo punto i triangoli $APR$ e $PCQ$ sono anch'essi equilateri.
Quindi disegnamo le altezze da $R$ a $AP$ e da $Q$ a $PC$.
Chiamiamo i piedi delle altezze rispettivamente $S$ e $T$, (le intersezioni delle altezze sui lati)
Dovresti convincerti che $ST = a/2$.
Non e' difficile da dimostrare.
Inoltre dovresti convincerti che $RS + QT = a \ sqrt3/2$, ovvvero l'altezza del triangolo $ABC$.
Passiamo a $QR$.
$QR$ diventa l'ipotenusa di un triangolo rettangolo e disponiamo i suoi cateti in modo orizzontale e verticale.
Il cateto orizzontale e' pari a $ST$ e quello verticale e' pari alla differenza delle altezze dei triangoli $APR$ e $PCQ$, overo $|RS - QT|$.
Usando il t. di PItagora allora ricaviamo questa differenza tra le altezze.
$|RS - QT| = \sqrt(QR^2 - ST^2) = \sqrt(a^2/3 - a^2/4) = a/(2\sqrt3)$.
Ora, con
$RS + QT = a \ sqrt3/2$ e con
$|RS - QT| = a/(2\sqrt3)$
dovresti essere in grado di concludere che una possibile soluzione e' $QT = a/(2\sqrt3)$
e, per similitudine tra triangoli, $AP = 2/3a$

[sfrasson]

Ti ringrazio per la risposta, in effetti viene richiesto di trovare un'equazione di secondo le cui radici sono le soluzioni del problema, anche perché altrimenti come si trova la seconda soluzione $ AP = 1/3 a $?

[sfrasson]

Ho trovato un errore e ho provato a risolverlo di nuovo considerando questo disegno




Ho posto:

$ BQ = AP = x $
$PK = QH = sqrt(3)/2x$
$QR^2 = 1/3a^2$

$ HB = x/2 $
$ RH = a- 3/2x $
$BR = a-x $

Usato il teorema di Euclide sul triangolo QBR
$QR^2 = RH*BR$

sostituendo:

$1/3a^2 = (a-3/2x)(a-x) $

Risolvendo l'equazione ottengo i risultati $x= a/3$ e $x=4/3a$. Il primo valore è giusto ma il secondo dovrebbe essere $2/3a$ cosa sto sbagliando?

[Quinzio]

Ti ringrazio per la risposta, in effetti viene richiesto di trovare un'equazione di secondo le cui radici sono le soluzioni del problema, anche perché altrimenti come si trova la seconda soluzione $ AP = 1/3 a $?

Nella mia risolzione, ad un certo punto c'e' un modulo:

$|RS - QT|$

Vanno considerati tutti e due i casi
$RS - QT$
e
$ QT - RS$

Un caso porta ad $AP = 1/3 a$ e l'altro porta a $AP= 2/3 a$.