Marco1005 ha scritto:axpgn ha scritto:Esiste discontinuità fuori dal dominio?
Scusa alex riprendo un attimo questo post.
se non esiste discontinuità fuori dal dominio, allora in ogni asintoto verticale non potrei raccontare che ci troviamo in una discontinuità di 2° specie no?
Quel punto è escluso dal dominio. Eppure nonostante sia escluso dal dominio c'è discontinuità.
Che differenza c'è tra un asintoto verticale e la "zona" del mio grafico dove "non passa" la funzione?
Grazie
Questa confusione viene quando le cose vengono spiegate (e chiamate) non adeguatamente, ma classificate così tanto per. Dimentica la nomenclatura "prima specie/seconda terza bla bla"
Una funzione è continua oppure discontinua in un punto in cui è definita, sarà tautologico ma per i punti in cui non è definita semplicemente non è definita! E basta!
Prendi la funzione \[g : \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto g(x) = x \]
è una funzione continua su tutti i punti del suo dominio. E non è definita in \(x=0\).
Prendi \[f : \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto f(x) = \frac{1}{x} \]
è una funzione continua su tutti i punti del suo dominio. E non è definita in \(x=0\), possiede un asintoto verticale in \(x=0 \), ma \(x = 0 \) non è un punto di discontinuità per \(f\)!!
Quindi cosa vuol dire "discontinuità di seconda specie" nome che io abolirei personalmente!
La vera domanda è la seguente: se una funzione non è definita in alcuni punti, posso estenderla (ovvero definirla) in quei punti in modo tale che questa nuova funzione coincide (è uguale) a quella che avevo prima laddove era definita e che risulti continua anche nei nuovi punti in cui l'ho definita? Nota che definendola in nuovi punti sto considerando una funzione diversa!
Proviamo!
Per la prima funzione definiamo \[ \tilde{g} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto \tilde{g}(x) =g(x) \text{ se } x \neq 0 \]
\[ 0 \mapsto \tilde{g}(0) = 0 \]
Ora questa funzione estende \(g\), perché su \( \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \) le funzioni coincidono, ed è continua anche nel punto \(x=0\), quindi la risposta è sì, un estensione continua di \( g \) esiste. Nota però che \( \tilde{g} \) è una funzione diversa da \(g\).
La funzione \( \tilde{g} \) è definita in tutti punti di \( \mathbb{R} \) ed è continua in tutti punti di \( \mathbb{R} \).
Nota però che se avessi fatto un altra scelta, ad esempio
\[ \tilde{h} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto \tilde{h}(x) =g(x) \text{ se } x \neq 0 \]
\[ 0 \mapsto \tilde{h}(0) = 1 \]
La funzione \( \tilde{h} \) sarebbe un estensione di \(g\) ma risulterebbe discontinua in \(x=0\).
Mentre per \(f\), la risposta è no! Non esiste una funzione \( \tilde{f} \) continua su \( \mathbb{R} \) tale che \( \tilde{f}(x) = f(x) \) per ogni \(x \neq 0 \). Infatti se definisco \( \tilde{f}(x) = f(x) \) quando \(x \neq 0 \) e \( \tilde{f}(0) = c \) dove \(c \in \mathbb{R} \) è un numero reale qualunque che fisso (non una variabile) allora la funzione seguente è discontinua in \(x = 0 \)
\[ \tilde{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto \tilde{f}(x) = f(x) \text{ se } x \neq 0 \]
\[ 0 \mapsto \tilde{f}(0) = c \]
Nota la differenza:
La funzione \(f\) è continua su tutti i punti del suo dominio. E non è definita in \(x=0\), possiede un asintoto verticale in \(x=0 \), ma \(x = 0 \) non è un punto di discontinuità per \(f\)!!
La funzione \( \tilde{f} \) è definita in tutti i punti di \( \mathbb{R} \) ed è discontinua in \( x = 0 \).
In definitiva
Quando ti trovi in presenza di un asintoto verticale quindi non è vero che il punto è un punto di discontinuità perché la funzione \(f\) semplicemente non è definita lì, è vero che ogni sua estensione \( \tilde{f} \) definita in quel punto è discontinua in quel punto!