Dubbio discontinuità

[3m0o]

Esiste discontinuità fuori dal dominio?

Scusa alex riprendo un attimo questo post.
se non esiste discontinuità fuori dal dominio, allora in ogni asintoto verticale non potrei raccontare che ci troviamo in una discontinuità di 2° specie no?
Quel punto è escluso dal dominio. Eppure nonostante sia escluso dal dominio c'è discontinuità.
Che differenza c'è tra un asintoto verticale e la "zona" del mio grafico dove "non passa" la funzione?
Grazie

Questa confusione viene quando le cose vengono spiegate (e chiamate) non adeguatamente, ma classificate così tanto per. Dimentica la nomenclatura "prima specie/seconda terza bla bla"

Una funzione è continua oppure discontinua in un punto in cui è definita, sarà tautologico ma per i punti in cui non è definita semplicemente non è definita! E basta!


Prendi la funzione \[g : \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto g(x) = x \]
è una funzione continua su tutti i punti del suo dominio. E non è definita in \(x=0\).

Prendi \[f : \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto f(x) = \frac{1}{x} \]
è una funzione continua su tutti i punti del suo dominio. E non è definita in \(x=0\), possiede un asintoto verticale in \(x=0 \), ma \(x = 0 \) non è un punto di discontinuità per \(f\)!!

Quindi cosa vuol dire "discontinuità di seconda specie" nome che io abolirei personalmente!
La vera domanda è la seguente: se una funzione non è definita in alcuni punti, posso estenderla (ovvero definirla) in quei punti in modo tale che questa nuova funzione coincide (è uguale) a quella che avevo prima laddove era definita e che risulti continua anche nei nuovi punti in cui l'ho definita? Nota che definendola in nuovi punti sto considerando una funzione diversa!

Proviamo!

Per la prima funzione definiamo \[ \tilde{g} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto \tilde{g}(x) =g(x) \text{ se } x \neq 0 \]
\[ 0 \mapsto \tilde{g}(0) = 0 \]


Ora questa funzione estende \(g\), perché su \( \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \) le funzioni coincidono, ed è continua anche nel punto \(x=0\), quindi la risposta è sì, un estensione continua di \( g \) esiste. Nota però che \( \tilde{g} \) è una funzione diversa da \(g\).

La funzione \( \tilde{g} \) è definita in tutti punti di \( \mathbb{R} \) ed è continua in tutti punti di \( \mathbb{R} \).

Nota però che se avessi fatto un altra scelta, ad esempio
\[ \tilde{h} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto \tilde{h}(x) =g(x) \text{ se } x \neq 0 \]
\[ 0 \mapsto \tilde{h}(0) = 1 \]
La funzione \( \tilde{h} \) sarebbe un estensione di \(g\) ma risulterebbe discontinua in \(x=0\).

Mentre per \(f\), la risposta è no! Non esiste una funzione \( \tilde{f} \) continua su \( \mathbb{R} \) tale che \( \tilde{f}(x) = f(x) \) per ogni \(x \neq 0 \). Infatti se definisco \( \tilde{f}(x) = f(x) \) quando \(x \neq 0 \) e \( \tilde{f}(0) = c \) dove \(c \in \mathbb{R} \) è un numero reale qualunque che fisso (non una variabile) allora la funzione seguente è discontinua in \(x = 0 \)
\[ \tilde{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto \tilde{f}(x) = f(x) \text{ se } x \neq 0 \]
\[ 0 \mapsto \tilde{f}(0) = c \]

Nota la differenza:

La funzione \(f\) è continua su tutti i punti del suo dominio. E non è definita in \(x=0\), possiede un asintoto verticale in \(x=0 \), ma \(x = 0 \) non è un punto di discontinuità per \(f\)!!

La funzione \( \tilde{f} \) è definita in tutti i punti di \( \mathbb{R} \) ed è discontinua in \( x = 0 \).

In definitiva

Quando ti trovi in presenza di un asintoto verticale quindi non è vero che il punto è un punto di discontinuità perché la funzione \(f\) semplicemente non è definita lì, è vero che ogni sua estensione \( \tilde{f} \) definita in quel punto è discontinua in quel punto!

[Marco1005]

Una funzione è continua oppure discontinua in un punto in cui è definita, sarà tautologico ma per i punti in cui non è definita semplicemente non è definita! E basta!



In definitiva

Quando ti trovi in presenza di un asintoto verticale quindi non è vero che il punto è un punto di discontinuità perché la funzione \(f\) semplicemente non è definita lì, è vero che ogni sua estensione \( \tilde{f} \) definita in quel punto è discontinua in quel punto!

Grazie per l'ottima spiegazione. Faccio fatica a metabolizzare il concetto di "estensione" sarò sincero. Il succo però l'ho compreso. Quindi da ora in avanti quando ragiono con gli universitari lascio stare punti di discontinuità di prima e seconda specie.

[Marco1005]

però alle Superiori si usa così col risultato che i liceali considerano $1/x$ discontinua e poi arriva gugo82 che li massacra

che è quello che ho sempre pensato io .
nel nostro esempio la funzione in $x=0$ dovrebbe continuare verso $y=1$ mentre invece salta e scende a $y=-1$ bene. Il punto $x=0$ è un punto del dominio in cui la funzione è discontinua.
mentre dove non esiste non ha senso parlare di discontinuità. Thanks

[gio73]

Grazie per l'ottima spiegazione. Faccio fatica a metabolizzare il concetto di "estensione" sarò sincero. Il succo però l'ho compreso. Quindi da ora in avanti quando ragiono con gli universitari lascio stare punti di discontinuità di prima e seconda specie.

Dai lezioni anche agli universitari?

[Mephlip]

Faccio fatica a metabolizzare il concetto di "estensione" sarò sincero.

È normale. Il fatto è che siamo abituati ad immaginare le funzioni come curve continue carine, quando in realtà il concetto di funzione è ben più astratto. Ad esempio, anche una legge che ha come dominio l'insieme dei tre numeri $1$, $2$ e $3$ e associa ad $1$ il numero $7$, a $2$ il numero $5$ e a $3$ il numero $10$ è una funzione. Il suo grafico sono semplicemente i tre punti $(1,7)$, $(2,5$) e $(3,10)$ sul piano cartesiano.

Quindi, una volta che uno si toglie dalla testa lo stereotipo "funzione = curva continua carina", torna tutto. In questo caso, il concetto di estensione, detto brutalmente, non è altro che: "Voglio definire una funzione. Per tutte le $x$ di un certo sottoinsieme numerico, decido di associare alla $x$ un valore che è stabilito dalla curva carina $1/x$; quale sottoinsieme numerico? Ad esempio uno dei numeri reali che piace a me, tranne quelli che contengono lo $0$ perché non ha proprio senso $1/x$ per $x=0$. Facciamo che mi va di usare come sottoinsieme tutto l'insieme in cui $1/x$ ha senso, ossia $\mathbb{R}\setminus\{0\}$; ma potrei usarne un altro, dato che la funzione la sto definendo io faccio come mi pare (finché quel che faccio è lecito). Nel punto $x=0$ non ha senso considerare una legge dipendente da una variabile, in quanto ho un solo valore e quindi tanto vale che dico quanto voglio che valga $f$ in $0$: perciò, in $0$ la definisco come mi pare, tipo $f(0)=25$. Ottengo quindi:
$$f(x)=\begin{cases} 1/x, \ \text{se} \ x \ne 0 \\ 25, \ \text{se} \ x=0\end{cases}$$
Il cui grafico è l'iperbole $1/x$ su tutto $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ unito il punto $(0,25)$."

Dato che la funzione $f$ che ottieni è uguale a $1/x$ in $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ ma ha anche qualcosa in più (in $0$ l'hai fatta valere $25$), su un sottoinsieme (nello specifico $\mathbb{R}\setminus\{0\}$) quella è la stessa funzione di prima ma poi aggiungi punti che prima non c'erano; da qui, il motivo per cui si usa la parola "estensione" è chiaro proprio da ciò che significa in italiano. Forse questa cosa l'ha già detta 3m0o, mi scuso in caso per la ripetizione.

Ovviamente, non devi per forza estendere nei punti solo in cui non hanno senso le operazioni algebriche. Anche la funzione $g:[-1,1] \to \mathbb{R}$ definita da $g(x)=x$ (il cui grafico è il segmento passante per i punti $(-1,-1)$ e $(1,1)$) si estende alla funzione $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definita ponendo $h(x)=x$ (il cui grafico è la ben nota bisettrice del primo e terzo quadrante). Ovviamente, puoi vedere anche le cose al contrario: ossia, $g$ è una restrizione di $h$, nello specifico la restrizione all'intervallo $[-1,1]$.

Ricordati che le funzioni si definiscono, quindi hai completa libertà (se tutto quel che fai è lecito).

[axpgn]

"funzioni carine" are for boys, "funzioni patologiche" are for men

[gio73]

E noi modestamente... Lo nascemmo.

[Marco1005]

Grazie per l'ottima spiegazione. Faccio fatica a metabolizzare il concetto di "estensione" sarò sincero. Il succo però l'ho compreso. Quindi da ora in avanti quando ragiono con gli universitari lascio stare punti di discontinuità di prima e seconda specie.

Dai lezioni anche agli universitari?

più per economia aziendale e matematica finanziaria...raramente per matematica..dipende dal programma