Controllo risultato equazione di secondo grado

[Marco1005]

Piccolo dubbio su questa equazione di secondo grado
$x/(x-1)+1/(x-2)=(2x-3)/(x^2-3x+2)$

scompongo il denominatore di secondo grado che risulta

$(x-1)(x-2)$

metto tutto a denominatore comune

$(x(x-2)+(x-1))/((x-1)(x-2))=(2x-3)/((x-1)(x-2))$

moltiplico entrambi i membri per $(x-1)(x-2)$ e risolvo pertanto

$(x(x-2)+(x-1))=(2x-3)$

$x^2-2x+x-1-2x+3=0$

i risultati della parabola sono 1 e 2.

L'esercizio però mi da come risultato impossibile.

ho provato a lasciare il denominatore non eliminandolo con la moltiplicazione ambo i lati.

risulterebbe:

$(x^2-3x+2)/((x-1)(x-2))=0$

quindi
$(x^2-3x+2)/(x^2-3x+2)=0$

e pertanto 1=0 non risulta verificata.

Domanda. perchè in questo caso non devo togliere il denominatore e negli altri casi invece tramite
moltiplicazione per ambo i membri posso farlo? Grazie

[Martino]

moltiplico entrambi i membri per $(x-1)(x-2)$

Se $x$ vale $1$ oppure $2$ qui stai moltiplicando entrambi i membri per $0$. Cosa succede quando si moltiplicano entrambi i membri per $0$?

Se io scrivo $3=4$ ovviamente è falso, ma se moltiplico entrambi i membri per $0$ ottengo $0=0$ che è vero.

[Mephlip]

Devi sempre discutere le condizioni di esistenza prima di fare qualsiasi conto.

[Marco1005]

moltiplico entrambi i membri per $(x-1)(x-2)$

Se $x$ vale $1$ oppure $2$ qui stai moltiplicando entrambi i membri per $0$. Cosa succede quando si moltiplicano entrambi i membri per $0$?

Se io scrivo $3=4$ ovviamente è falso, ma se moltiplico entrambi i membri per $0$ ottengo $0=0$ che è vero.

Pero' se io avessi ad esempio $15/x=5$ che faccio , moltiplico a destra e sinistra per x e ricavo

$15=5x$ e di conseguenza $x=3$

in questo caso non mi sono posto il problema che $x!=0$

[Marco1005]

Devi sempre discutere le condizioni di esistenza prima di fare qualsiasi conto.

Mephlip ma se anche io sapessi che $x!=1$ e $x!=2$ se elimino il denominatore come nell'esempio che ho fatto a Martino, perchè è sbagliato?

Se lascio il denominatore è scontato che gli stessi valori che azzerano il numeratore sono poi gli stessi valori esclusi dal dominio che rendono il denominatore uguale a zero. Ma se poi moltiplico e faccio scomparire il denominatore il problema non c'è piu. Non mi sono mai posto il problema nelle equazioni di eliminare
il denominatore. Discorso diverso nelle disequazioni dove non sapendo che segno ha l'incognita non posso eliminarla e la devo mantenere.
Ricordo che nello studio di funzione, in presenza di funzione fratta, quando si procede all'incontro con l'asse x
si eguaglia il numeratore =0, tralasciando il denominatore che viene eliminato moltiplicando ambo i lati.
Quindi qui pensavo di fare la stessa cosa

[Marco1005]

wait.......però se io sapessi dall'inizio che $x!=1$ e $x!=2$ saprei che le soluzioni che rendono zero il numeratore sono escluse dal dominio e pertanto il risultato è impossibile.
cio' che potrebbe permettermi di azzerare la funzione (azzeramento del numeratore) però non collima con i risultati accettabili dalla funzione.

[Martino]

Marco, il denominatore non può annullarsi, punto. Se compare $x-1$ a denominatore allora $x$ non potrà assumere mai il valore $1$. Si chiama condizione di esistenza, come ti ha detto Mephilp.

Poi io nel precedente intervento ti ho fatto osservare che in generale moltiplicare tutto per zero non è una grande idea.

[Mephlip]

È che non hai completamente chiaro cosa sia un'equazione. In termini spiccioli, un'equazione è il problema di determinare, se esistono, dei valori in un certo insieme numerico che rendono il membro di sinistra dell'equazione uguale al membro di destra dell'equazione (o, in altri termini, che rendono l'identità vera). Quindi, ogni volta che fai dei passaggi riscrivendo le quantità in gioco, stai in realtà stabilendo delle equivalenze tra ogni equazione "vecchia" e quella "nuova" ottenuta a seguito dei suddetti passaggi. Se non hai equivalenze, non è detto che le soluzioni trovate all'ultimo passaggio siano anche soluzioni di quella di partenza (anche in italiano: non essendo equivalenti le espressioni di partenza e di arrivo, perché dovrebbero avere le stesse soluzioni?). Ti ha già mostrato Martino che moltiplicare per $0$ ambo i membri di un'equazione non è un passaggio equivalente, in quanto trasforma un'identità falsa in una vera.

Quindi, dato che nell'espressione iniziale $x=1$ e $x=2$ non sono valori contemplati perché farebbero perdere di senso sia al membro di sinistra sia al membro di destra (a causa dei denominatori), se tu li cancelli spericolatamente ottieni ora invece delle espressioni che hanno senso per $x=1$ oppure $x=2$. Quindi, le informazioni che ottieni per le espressioni che hanno senso per $x=1$ oppure $x=2$ non si trasferiscono necessariamente a quelle che non hanno senso per $x=1$ e $x=2$, a causa della non equivalenza tra l'equazione nuova ottenuta moltiplicando per $(x-1)(x-2)$ e quella vecchia in cui non hai moltiplicato. Riprendendo il tuo esempio: $15=5x$ ha senso per $x=0$ (poi lascia stare che è falsa perché per $x=0$ conduce a $15=0$, per ora non ci importa), ma $\frac{15}{x}=5$ non ha senso per $x=0$ (dividi per $0$). Quindi non possono essere equivalenti, una ha senso per $x=0$ e l'altra no! Quindi non si può tralasciare il fatto che bisogna stare attentissimi tra un passaggio e l'altro. Infatti, è per questo che generalmente, per risolvere un'equazione fratta, si insegna prima a trovare le condizioni di esistenza, fare un denominatore comune e, eventualmente, scartare i valori che annullano il numeratore ma che non soddisfano le condizioni di esistenza (quest'ultima operazione serve proprio ad assicurarsi di non aver incluso valori che annullano il numeratore ma anche il denominatore).

Per le disequazioni, in un certo senso dal punto di vista logico fai lo stesso: proprio perché non c'è equivalenza nel moltiplicare per quantità di cui non si sa con certezza il segno si evita di moltiplicare, perché se malauguratamente si inverte il verso della disequazione ne ottieni una non equivalente a quella di prima.

Non a caso, quelli che sai funzionare sempre vengono detti "principi di equivalenza delle equazioni/disequazioni", no?

[Marco1005]

Stavolta non ho impostato le condizioni di esistenza . Se l'avessi fatto effettivamente
anche cancellando il denominatore avrei ottenuto che i risultati erano esclusi dal dominio e quindi il risultato sarebbe stato impossibile.....colpa mia