Marco1005 ha scritto:scusa ma il minimo per essere tale deve essere un punto in cui la derivata prima diventa uguale a zero no?
e il punto x=2 è un punto di non derivabilita' perchè derivata prima destra e sinistra non coincidono.
Quindi se in quel punto non posso derivare significa che x=2 non è un punto di minimo....o mi sfugge qualcosa??
I teoremi hanno delle ipotesi. Il teorema a cui ti riferisci (teorema di Fermat) dice, a grandi linee, che se una funzione $f$ è derivabile in $x_0$ e $x_0$ è un punto di massimo locale oppure di minimo locale, allora $f'(x_0)=0$. Il teorema non afferma nulla se $f$ non è derivabile in $x_0$. Ovvero, in un punto di non derivabilità, a priori, può succedere di tutto: può essere comunque un massimo locale o un minimo locale, oppure può non essere né uno né l'altro. In questi casi, se vuoi provare a dimostrare che un punto di non derivabilità è di massimo locale o minimo locale, devi rifeririti alle loro definizioni (una delle quali è quella riportata da @melia).
Quella definizione, brutalmente, dice che affinché $x_0=2$ sia minimo locale la funzione deve stare sopra $f(2)$ "nei pressi" di $2$. Ossia, deve esistere un intervallo centrato in $2$ in cui i valori della funzione stanno sopra $f(2)$; un intervallo centrato in $2$ è un intervallo della forma $(2-a,2+a)$ per qualche $a>0$ (ne basta anche uno solo). Ad esempio, se $a=1/2$ ti accorgi che, effettivamente, l'intervallo $(2-1/2,2+1/2)=(3/2,5/2)$ è un intorno di $2$ e la funzione $f$ sta sopra $f(2)$ per ogni valore in tale intervallo (basta guardare il grafico, nota che in tale intervallo stiamo dopo $0$ e prima di $3$). Quindi, $2$ è un punto di minimo locale per $f$.
Per assimilare ancora meglio, invece $x_0=1$ non è né punto di minimo locale né punto di massimo locale: infatti, non importa quanto stringi un intervallo intorno a $x_0=1$, troverai sempre valori della funzione che stanno sopra $f(1)$ (quelli corrispondenti ai punti a sinistra di $1$) e valori della funzione che stanno sotto $f(1)$ (quelli corrispondenti ai punti a destra di $1$).
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.
