Risoluzione disequazione logaritmica

[saver]

Buonasera a tutti,

Sto svolgendo degli esercizi di verifica sui limiti.
Mi sono imbattuto in questo limite da verificare:

$lim_(x->2+)(3/ln(x-1)) = +oo$

Ho quindi impostato la disequazione
$(3/ln(x-1)) > M$ con M>0

Risolvendo mi viene:
$x<1+e^(3/M)$

che risulta sbagliato (dovrebbe essere maggiore ovvero appartenere all'intorno destro di 2).

Risolvendo passo passo la disequazione e anche grazie a WolphramAlpha, penso di aver individuato l'errore qui:
$(3/ln(x-1)) > M$
$(ln(x-1)/3) < 1/ M$

Cioè ho fatto il reciproco dei due membri e cambiato il segno della disequazione e proprio non capisco perché non si possa fare. Dopotutto la base del logaritmo non è inferiore ad 1.

Cosa sto clamorosamente sbagliando?

Grazie in anticipo a chi sappia aiutarmi.

[@melia]

Nel tuo ragionamento ci sono 2 errori, parto con l'analizzare il secondo errore

Risolvendo passo passo la disequazione e anche grazie a WolphramAlpha, penso di aver individuato l'errore qui:
$(3/ln(x-1)) > M$
$(ln(x-1)/3) < 1/ M$

Cioè ho fatto il reciproco dei due membri e cambiato il segno della disequazione e proprio non capisco perché non si possa fare. Dopotutto la base del logaritmo non è inferiore ad 1.

Puoi lavorare con i reciproci solo se entrambi i membri hanno lo stesso segno, quindi solo se
$ln(x-1) >0 =>x-1>1 =>x>2$


Adesso passo ad analizzare il primo errore:

Risolvendo mi viene:
$x<1+e^(3/M)$

che risulta sbagliato (dovrebbe essere maggiore ovvero appartenere all'intorno destro di 2).

$1+e^(3/M)$ è maggiore di 2, e tu non hai bisogno di un intervallo da qualcosa maggiore di 2 in poi, hai bisogno di un intorno destro di 2, cioè una cosa che va da $2$ a $2+alpha$

In pratica hai ottenuto $x<1+e^(3/M)$ con la condizione $x>2$, mettendo a sistema le due disequazioni ottieni $2<x<1+e^(3/M)$ che è proprio l'intorno destro di 2 che stavi cercando.

[saver]

Grazie Melia.

Non ti ho risposto subito perché ho fatto difficoltà a capire soprattutto il mio secondo errore.
Farò altri esercizi simili a questo.

Grazie