Circonferenza goniometrica

[Cosimo00110]

La mia è solamente una questione di definizione. Ho sempre dato per scontato che la circonferenza goniometrica ha raggio arbitrario, anche perché si capisce il perché il seno ed il coseno siano rispettivamente la proiezione sull’ordinata fratto il raggio R e la proiezione sull’ascissa fratto R. Sono rimasto un po’ perplesso quando una persona mi ha detto “la circonferenza goniometrica ha raggio R=1” come qualcosa che DEVE essere così, mentre io l’ho sempre visto come PER SEMPLIFICARE usiamo R=1, ma anche su Wikipedia leggo che R=1.

Domanda, la definizione con R=1 è quella canonica oppure ho ragione io?

[axpgn]

La circonferenza goniometrica ha raggio unitario.
Ed ha il suo perché
Quello che dici viene DOPO, è una conseguenza.

[Cosimo00110]

Ti ringrazio.

[giammaria]

Ho qualche perplessità sulla risposta di axpgn.
Seno e coseno sono dati dai rapporti di cui parla Cosimo00110: solo con questa definizione sono numeri puri, cioè senza unità di misura. I ragionamenti possono quindi essere fatti con circonferenze di raggio qualsiasi e si sceglie R=1 solo per comodità.
Se poi con "circonferenza goniometrica" si intenda quella su cui ragioniamo o quella con R=1 è solo questione di termini, che possono differire da un autore all'altro.

[axpgn]

Non sono d'accordo.
Come dicevo quello che scrive Cosimo viene dopo.

Su vari testi (delle Superiori intendo non cose più complicate ) ho visto definire le funzioni goniometriche in questo modo che io ritengo, se correttamente compreso, utilissimo e chiarissimo.

Si definisce la circonferenza goniometrica come circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine (di un piano cartesiano ortogonale).
Si definisce, in generale, l'angolo come parte di piano compresa tra due semirette uscenti dallo stesso punto ed in particolare, nel nostro caso, il vertice coincide con l'origine $O$ e la prima semiretta (il primo lato dell'angolo) coincide con il semiasse positivo delle $x$.
Detto $Q$ il punto di intersezione dell'asse $x$ con la circonferenza goniometrica e detto $P$ il punto di intersezione dell'altra semiretta (l'altro lato dell'angolo) con la circonferenza goniometrica, il valore della misura dell'arco $QP$ rapportata al raggio è la misura dell'angolo in radianti; siccome il raggio è unitario, la misura dell'arco coincide con la misura dell'angolo ed è un numero puro (anche se aggiungiamo radianti per comodità/chiarezza); lo segniamo positivo se percorso in senso antiorario, negativo in senso inverso.
Ora, tracciamo la perpendicolare da $P$ sull'asse $x$ e chiamiamo $H$ il punto di intersezione:
- il valore della misura di $PH$ è il seno dell'angolo $Q\hatOP$
- il valore della misura di $OH$ è il coseno dell'angolo $Q\hatOP$.

La generalizzazione viene di conseguenza


Cordialmente, Alex

[@melia]

Concordo con axpgn, inoltre aggiungo che seno e coseno sono numeri puri, non tanto perché rapporto tra la lunghezza della coordinata cartesiana e il raggio. In matematica anche le coordinate cartesiane sono dei numeri puri in quanto rapporto tra la misura di una distanza e l'unità di misura del sistema.
Infatti solo in fisica sugli assi cartesiani viene riportata l'unità di misura che non è quella del dato riportato, ma quella dell'unità di misura utilizzata nella rappresentazione.