Equivalenza tra tavole di verità

[Alin]

Ho un dubbio:
questa formula $(P rArr Q) rArr P -=( not P vv Q) rArr P -= not( not P vv Q) vv P -= (P ^^ not Q) vv P$
Adesso mi chiedo: perchè è anche èquivalente a $P$
Io ho pensato che $ (P ^^ notQ) vv P -= P$ perchè hanno gli stessi valori di verità.
Dico bene? Grazie

[413]

\( \displaystyle (P\land Q)\lor P \equiv P \)

è detta legge di assorbimento. Con \( \displaystyle \top \) indico la proposizione vera,

\( \displaystyle \begin{align*}
P&\equiv P\land\top&&\\
&\equiv P\land(\top\lor Q)&&(\top\equiv \top\lor Q)\\
&\equiv (P\land\top)\lor(P\land Q)&& (\text{proprietà distributiva})\\
&\equiv P\lor (P\land Q)&&(P\equiv P\land\top)\\
&\equiv(P\land Q)\lor P&&(\text{proprietà commutativa})
\end{align*} \)

Nel tuo caso \( \displaystyle P\equiv (P\land\neg Q)\lor P. \)

[Alin]

Grazie! Comincio a capire qualcosa!
Invece in questa formula
$ P vv^(*)(P rArr Q) -=P vv ( not P vv Q)-=$
$-=(P vv (not P vv Q) ^^(not P vv not (not P vv Q)) -=$
$-= not P vv ( P vv not Q$
A quest'ultima ci si arriva per assorbimento o idempotenza?
$vv^(*)$ si intende aut

[413]

Non saprei, ci sono delle parentesi sbagliate... comunque...

\( \displaystyle \begin{align*}
P\lor(P\rightarrow Q)&\equiv P\lor(\neg P\lor Q)&& (P\rightarrow Q\equiv \neg P\lor Q)\\
&\equiv (P\lor \neg P)\lor Q&& (\text{prop. associativa})\\
&\equiv \top\lor Q&& (P\lor\neg P\equiv\top)\\
&\equiv \top&&( \top\lor Q\equiv\top)
\end{align*} \)

La formula

\( \displaystyle \neg P \lor (P\lor \neg Q)\equiv \neg P\lor (\neg P\rightarrow \neg Q) \)

ha la stessa identica struttura della prima con \( \displaystyle P\rightsquigarrow \neg P,Q\rightsquigarrow \neg Q \) , quindi

\( \displaystyle \neg P\lor (\neg P\rightarrow \neg Q)\equiv\top, \)

da cui

\( \displaystyle P\lor(P\rightarrow Q)\equiv \neg P\lor (\neg P\rightarrow \neg Q). \)

Che fosse una tautologia lo si vedeva a occhio: l'implicazione materiale è falsa solo quando l'antecedente ( \( \displaystyle P \) ) è vero e il conseguente ( \( \displaystyle Q \) ) è falso, e la disgiunzione è vera nel momento in cui (almeno) uno dei due operandi è vero, quindi quella formula è sempre vera.

[Alin]

Ho sbagliato a scrivere!


$P∨^(⋅)(P⇒Q)≡P∨(¬P∨Q)≡$
$≡(P∨(¬P∨Q))∧(¬P∨¬(¬P∨Q))≡$
$≡¬P∨(P ^^¬Q)$
A quest'ultima, io ci sono arrivato con l'aiuto dei diagrammi di Venn e con le tavole di verità.
Infatti

$(P∨(¬P∨Q))∧(¬P∨¬(¬P∨Q))$ ha La stessa tavola di verità di
$¬P∨(P ^^¬Q)$
E questo si vede anche con i diagrammi di Venn
Come si può fare diversamente? Grazie

[413]

Questa equivalenza logica è sbagliata

\( \displaystyle P\lor (\neg P\lor Q)\equiv (P\lor (\neg P\lor Q))\land(\neg P\lor \neg(\neg P\lor Q)). \)

Questa invece è corretta

\( \displaystyle (P\lor (\neg P\lor Q))\land(\neg P\lor \neg(\neg P\lor Q))\equiv (\neg P\lor \neg(\neg P\land Q)) \)

poiché

\( \displaystyle \begin{align*}
(P\lor (\neg P\lor Q))\land(\neg P\lor\neg(\neg P\lor Q))&\equiv \top\land(\neg P\lor\neg(\neg P\lor Q))\\
&\equiv \neg P\lor (\neg\neg P\land\neg Q)\\
&\equiv\neg P\lor (P\land\neg Q)
\end{align*} \)

dove ho usato \( \displaystyle \neg\neg A\equiv A \) e la legge di De Morgan

\( \displaystyle \neg(A\lor B)\equiv \neg A\land \neg B, \)

ma \( \displaystyle \neg P\lor (P\land\neg Q)\not\equiv P\lor (\neg P\lor Q) \) .

Per controllare le tavole di verità puoi usare questo generatore di tavole di verità.

[Alin]

Questa equivalenza logica è sbagliata

$P∨(¬P∨Q)≡(P∨(¬P∨Q))∧(¬P∨¬(¬P∨Q)).$
Ma se la $vv$ è un aut

$P∨^(*)(¬P∨Q)≡(P∨(¬P∨Q))∧(¬P∨¬(¬P∨Q)).$  dovrebbe essere giusta

Ti chiedo una cosa: come fai a dire che

$ (P∨(¬P∨Q)) ≡⊤$
Grazie mille

[axpgn]

$ (P∨(¬P∨Q)) ≡⊤$

$ P vv ¬P $ è sempre vera perché se non è vera $P$ allora sarà vero il suo contrario, non possono essere false entrambe. E $ vv Q$ non aggiunge niente.

[413]

Ti chiedo una cosa: come fai a dire che

$ (P∨(¬P∨Q)) ≡⊤$
Grazie mille

La disgiunzione \( \displaystyle \lor \) è associativa

\( \displaystyle A\lor (B\lor C)\equiv (A\lor B)\lor C, \)

la disgiunzione tra una proposizione e la sua negata è la verità (e.g. " \( \displaystyle 7 \) è un numero naturale pari" o " \( \displaystyle 7 \) non è un numero naturale pari")

\( \displaystyle A\lor \neg A\equiv \top, \)

la disgiunzione tra la verità e una qualunque proposizione è la verità (e.g. "ogni numero naturale è non negativo" o "i numeri naturali primi sono in numero finito")

\( \displaystyle \top\lor A\equiv \top. \)

[Alin]

Grazie mille!