Ombre e trigonometria

[lovato]

Il 21 giugno, in pieno sole, ad un certo istante ed in un certo sito, un
palo verticale non produce ombra alcuna sul terreno; allo stesso istante, in un sito
posto 301 km più ad est, un palo verticale alto 20m produce sul terreno pianeggiante
un'ombra lunga 102 cm.
1. Quale latitudine hanno i due siti?
2. Quale differenza di longitudine vi è tra i due siti?
3. Quale raggio terrestre si ottiene dai dati forniti?
La latitudine dei due siti, credo, è corrispondente a quella del tropico del cancro in quanto il 21 giugno (solstizio d'estate) il sole si trova allo zenit e, quindi, non produce ombra.
Per gli altri due quesiti non riesco a trovare una soluzione... riesco solo a calcolare l'angolo che c'è tra il sole ed il palo che sarebbe:
$α = arctg (o/h)$
Dove o è la lunghezza dell'ombra e h è l'altezza del palo...

[Quinzio]

Il vero "problema" di questi problemi e' interpretare bene il testo, non tanto la parte matematica.
Cosi', invece di fare dei calcoli, uno si ritrova a risolvere degli indovinelli.
Qui la parte poco chiara e' cosa significa "andare ad est".
Puo' significare due cose: andare ad est camminando lungo la linea del Tropico, oppure andare ad est camminando lungo il cerchio massimo che passa dal paletto.
La scelta piu' naturale e' di rimanere sulla linea del tropico, secondo me.

Qui uso le coordinate sferiche, per cui $\theta = 0°$ e' il polo nord, $\theta = 90°$ e' l'equatore, e $\theta = 180°$ e' il polo sud.
Il tropico del cancro e' a circa 23° latitudine nord quindi $\theta = 90° - 23° = 67°$ circa.

Allora il versore che rappresenta il paletto senza ombra e'
$(sin 67°, 0, cos 67°)$

un altro paletto che sta sempre sulla linea del tropico e'
$(\cos \varphi \sin 67°, \sin \varphi \sin 67°, \cos 67°)$

Per trovare il coseno dell'angolo tra i due paletti facciamo il prodotto scalare
$(sin 67°, 0, cos 67°) \cdot (\cos \varphi \sin 67°, \sin \varphi \sin 67°, \cos 67°) = \cos \varphi \sin^2 67° + \cos^2 67°$.

Questo coseno e' da eguagliare al coseno che si ricava dall'ombra del paletto, ovvero
$\cos \varphi \sin^2 67° + \cos^2 67° = 20 /(sqrt(20^2+1.02^2))$

Risolvendo per $\varphi$ viene circa $3.13°$ che e' la differenza di longitudine (risposta 2).
Per stimare il raggio della Terra si converte la longitudine in radianti, $0.0546$, e quindi si calcola

$(301 km)/0.0546 = 5514 km$