Studio di funzione e funzione inversa

[Marco1005]

Buonpomeriggio.
devo rispondere alle seguenti domande relative a questa funzione:

$y=x^2/(1+x^2)$

domande:
1) si determini il dominio naturale - risposta $R$
2) si determini l'immagine di f - risposta $[0;1)$
3) si determini l'immagine di $f(R^+)$ -risposta - $[0;1)$
4) si determini se la funzione è pari o dispari - risposta pari $f(x)=f(-x)$
5) si stabilisca se $f(R^+ nn D_f)$ è iniettiva, e se si determinare la funzione inversa.

Per la 5 è una funzione iniettiva, ma mi blocco al calcolo della funzione inversa.
Ho sempre scambiato le x con le y, quindi procedo in tal senso:

$x = y^2/(1+y^2)$ ma poi da qui non riesco a proseguire.

La soluzione del professore è la seguente.

$(f(R+))^-1 : [0;1) rarr [0;+oo), y rarr sqrt(y/(y-1))$

utilizza lo stesso calcolo per rispondere anche alle domande 2) e 3) .
personalmente ho disegnato il grafico e ho risposto in base a quello

Grazie come sempre

[axpgn]

Penso che abbia fatto così ...

$y=x^2/(1+x^2)\ ->\ 1/y=(1+x^2)/x^2\ ->\ 1/y=1/x^2+1\ ->\ 1/y-1=1/x^2$

$(1-y)/y=1/x^2\ ->\ y/(1-y)=x^2\ ->\ sqrt(y/(1-y))=x$

[Marco1005]

Penso che abbia fatto così ...

$y=x^2/(1+x^2)\ ->\ 1/y=(1+x^2)/x^2\ ->\ 1/y=1/x^2+1\ ->\ 1/y-1=1/x^2$

$(1-y)/y=1/x^2\ ->\ y/(1-y)=x^2\ ->\ sqrt(y/(1-y))=x$

Ok capito i calcoli, non l'avevo minimamente pensato.
ma.....domanda....nella funzione inversa dovrei comunque isolare la y e riscrivere tutto come $y=f(x)$
il prof invece lascia tutto in funzione della x - non cambia nulla ma è tanto per capire

[axpgn]

Allora ... è facile fare casino (e a me capita )

Io ti ho mostrato i conti da fare per esplicitare una variabile in funzione dell'altra ovvero tu avevi originalmente la $y$ esplicitata in funzione di $x$ e io te l'ho rigirata in modo che la $x$ fosse esplicitata in funzione di $y$, quindi ho solo riscritto la funzione originaria in modo diverso ovvero NON ho cambiato niente, la funzione riscritta in quel modo, disegnata sullo stesso piano cartesiano, è la stessa di quella originale non la sua inversa; chiaro?
Però a 'sto punto basta scambiare la $x$ con la $y$ e ottieni la tua inversa

Provare per credere

[Marco1005]

Allora però la soluzione del prof è sbagliata. La funzione inversa è

$y= sqrt(x/(x-1))$

[axpgn]

Sì.

[Marco1005]

Grazie Alex