"equazioni di secondo grado"

[andreacerbico]

Salve, ho tentato di risolvere questo problema: Due numeri reali x₁ e x2 sono tali che x₁⋅ x2 = 1/2 . La somma dei loro quadrati supera di 2 la somma dei loro reciproci. Quali sono, se esistono, tali numeri?
Ho eguagliato x1 tra le due equazioni che si formano con le prime due frasi, alla fine il risultato trovato è l'inesistenza dei due numeri, e non sono sicuro sia giusto in quanto sul libro di testo non vi è il risultato. Qualcuno potrebbe aiutarmi?

[ingres]

Ciao andreacerbico, benvenuto nel Forum

Se il problema è

$x_1*x_2 = 1/2$
$x_1^2+x_2^2 =2+1/x_1+1/x_2$

allora questo problema ha soluzione

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$x_(1,2) = (3 pm sqrt(7))/2$

Infatti

$2+1/x_1+1/x_2 =2+(x_1+x_2)/(x_1*x_2)=2+2(x_1+x_2)$

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2*x_1*x_2 =(x_1+x_2)^2-1$

sostituendo e posto $y=x_1+x_2$ si ottiene l'equazione

$y^2-2y-3 = 0$

da cui $y=-1$ e $y=3$

Per $y=-1$ si ottiene

$x_1+x_2=-1$
$x_1*x_2=1/2$

da cui l'equazione

$x^2+x+1/2=0$ che però ha il discriminante negativo per cui non da soluzioni reali

Per $y=3$ si ottiene

$x_1+x_2=3$
$x_1*x_2=1/2$

da cui l'equazione

$x^2-3x+1/2=0$ che fornisce le soluzioni indicate

[andreacerbico]

ok, grazie