Angoli convessi (provocazione)

[the gypsy]

Definizione (insieme convesso)
In uno spazio euclideo un insieme convesso è un insieme nel quale, per ogni coppia di punti, il segmento che li congiunge è interamente contenuto nell'insieme. (cfr wikipedia)

Definizione (insieme concavo)
Per negazione della definizione di insieme convesso. Ovvero sul modello: se non è zuppa, è pan bagnato. Tertium non datur.


Ovviamente non ho niente da dire su tali definizioni (son definizioni), il problema nasce con gli angoli. Cominciamo però dall'inizio.

Concetti primitivi.

1. il punto (ciò che non ha parti)
2. la retta
3. il piano
4. per semplicità, mettiamoci anche la semiretta

Definizione (angolo)
Un angolo è una porzione del piano compresa tra due semirette che hanno la stessa origine in comune

Esempi di angolo.

1. angolo piatto (i suoi lati sono l'uno il prolungamento dell'altro)
2. angolo giro (coincide con l'intero piano)
3. angolo retto

Un angolo è quindi un sottoinsieme particolare di un piano e, in quanto insieme, gli si applica anche la definizione di insieme convesso sopra riportata. Ovvero

un angolo è convesso se, comunque scelgo una coppia distinta di suoi punti P e Q, il segmento PQ è interamente contenuto nell'angolo

Ma .... in rete, come anche su molti libri di matematica delle superiori, si riportano asserzioni di questo tipo:

Criterio
Un angolo è un angolo convesso se non contiene il prolungamento dei suoi due lati.

Equivalentemente
Un angolo è un angolo concavo se contiene il prolungamento dei suoi due lati.


Domande provocatorie
L'angolo giro è concavo o convesso?

Il prolungamento dei suoi lati è completamente contenuto in esso (non può essere altrimenti trattandosi dell'intero piano). Quindi, secondo il criterio, l'angolo giro è concavo.

Però se prendo la definizione risulta che per ogni coppia di punti P e Q il segmento PQ è interamente contenuto in esso (non può essere altrimenti essendo l'angolo giro coincidente con l'intero piano). Quindi l'angolo giro è convesso.

Idem, l'angolo piatto è concavo o convesso?

Come per l'angolo giro, se applico il criterio risulta essere un angolo concavo (infatti i lati di un angolo fanno parte dell'angolo stesso), mentre se applico la definizione risulta essere un angolo convesso (è infatti un semipiano).

Ma allora l'angolo piatto e l'angolo giro sono simultaneamente sia concavi che convessi? ...

[the gypsy]

Nessuna soluzione per questa "aporia" ?

[gio73]

Ciao

Pensi di considerare angoli maggiori di 360°?

Ci limitiamo All intervallo $0 ;2pi$?


Prendiamo due semirette consecutive (avente origine in comune)

Se vuoi procurati uno quei ventagli che quando si aprono completamente formano un cerchio, oppure due matite che terrai attaccate per un capo

Definizione di angolo è ciascuna delle 2 DUE porzioni di piano divise da due semirette consecutive.

All inizio avrai le due semirette coincidenti di conseguenza avrai come 2 DUE angoli uno di ampiezza 0° e l'altro di ampiezza 360°, giusto?

Uno concavo e l altro convesso

Qual è quello concavo, quale quello convesso?
Quale definizione ti conviene usare?

[the gypsy]

Ciao

Pensi di considerare angoli maggiori di 360°?

No, è sufficiente fermarsi all'angolo giro.

Ci limitiamo All intervallo $0 ;2pi$?

Yup!

Prendiamo due semirette consecutive (avente origine in comune)

Se vuoi procurati uno quei ventagli che quando si aprono completamente formano un cerchio, oppure due matite che terrai attaccate per un capo

Definizione di angolo è ciascuna delle 2 DUE porzioni di piano divise da due semirette consecutive.

All inizio avrai le due semirette coincidenti di conseguenza avrai come 2 DUE angoli uno di ampiezza 0° e l'altro di ampiezza 360°, giusto?

Yesss!

Uno concavo e l altro convesso

Qual è quello concavo, quale quello convesso?

... qual è?

Quale definizione ti conviene usare?

La definizione di convessità è quella che ho riportato all'inizio, \(\displaystyle \forall P,Q \) nell'insieme in esame \(\displaystyle \Rightarrow \) il segmento di estremi \(\displaystyle P\ \) e \(\displaystyle \ Q \) è interamente contenuto nell'insieme in esame.

Una volta definito un oggetto si può eventualmente "ampliarne" la definizione, in modo che restringendola all'insieme su cui era definita originariamente tutti i conti tornano (i.e. come per la definizione di integrale di Lebègue che amplia la definizione di integrale di Riemann anche a funzioni non continue, ma che comunque da' lo stesso risultato se applicato alle funzioni continue; per ampliamento della definizione intendo in questo senso).

Comunque la definizione su scritta di convessità (e per negazione quella di concavità) è la più generale possibile.

Quello del prolungamento degli angoli è un criterio, non una definizione. Molti dei problemi di comprensione nascono qui: sostituire la definizione con quel criterio. Purtroppo ho visto libri di autori eccelsi che, pur chiamando la definizione definizione ed il criterio criterio, non si premurano di spendere qualche parola in più.

Forse dovevo postare nella sezione Pensare un po' di più, ma insegnando alle superiori e vedendo i guai che combina questo criterio ho deciso di postare qui.
Il problema falso quadrato (che riguarda i prodotti notevoli) lo posterò in quella sezione. Perché anche su questo punto trovo in rete cose un po' così.

[3m0o]

Ciao gypsy, non so dove tu abbia letto questa definizione

Definizione (insieme concavo)
Per negazione della definizione di insieme convesso. Ovvero sul modello: se non è zuppa, è pan bagnato. Tertium non datur.

Ma non sono definiti gli insiemi concavi, esistono solo insiemi convessi! Un insieme che non è convesso è semplicemente non convesso!

Per quanto riguarda agli angoli convessi e concavi, premetto che non avevo mai incontrato questa terminologia! Comunque sia è solo una terminologia, per indicare angoli di una certa misura! Per esempio in francese adottano nomi diversi, dicono angle saillant (per angolo convesso) e angle rentrant (per angolo concavo), nota che i termini convexe e concave esistono e vengono usate per le funzioni e per l'iniseme dicono ensemble convexe! Credo che in italiano i termini siano stati presi dai poligoni convessi e poligoni concavi; un poligono è detto convesso se è il bordo di un insieme convesso, e si può dimostrare che un poligono convesso possiede tutti gli angoli che sono minori di \(180\) gradi, mentre un poligono concavo possiede almeno un angolo strettamente più grande di \(180\) gradi (angoli interni naturalmente).

Comunque, cercando qua e là, ho trovato (a fatica) queste definizioni di angoli convessi e angoli concavi

Definizione: Un angolo \( \alpha \) è detto convesso quando la misura è compresa tra i 0 e i 180 gradi

Definizione: Un angolo \( \alpha \) è detto concavo quando la misura è compresa tra i 180 e i 360 gradi

Non mi è molto chiaro, perché è ambiguo, se debba contenere gli estremi o meno, ma in entrambi i casi non è un problema!

Stai attento che sebbene i termini sono gli stessi si sta parlando di nozioni differenti! Una è definita per gli angoli, o più precisamente è definita rispetto ad una misura d'angolo, l'altra invece è definita per degli insiemi (non necessariamente sottoinsiemi di \(\mathbb{R}^2\)) e non necessariamente devono coincidere!

Chiaramente la terminologia suggerisce che sono concetti legati, questo penso arrivi appunto dai poligoni che dicevo sopra, ma è anche vero che la regione di piano definita da un angolo \( \alpha \) convesso, di misura \( 0 \leq \alpha < \pi \), è un insieme convesso, mentre la regione di piano definita da un angolo \( \alpha \) concavo, di misura \( \pi < \alpha < 2\pi \) non è un insieme convesso!

Chiaramente tutto il piano \( \mathbb{R}^2 \) è un insieme convesso, la misura del angolo giro è \(2\pi \) quindi in questo caso diremmo che l'angolo giro è concavo (se \(2\pi \) è incluso nella definizione)! Non stai contraddicendo nulla! Sono nozioni e definizioni differenti! Un francese direbbe "\(\mathbb{R}^2\) c'est un ensemble convexe, et l'angle plein est un angle rentrant"!

Per via di questo conflitto di terminologia, perché solo di questo si tratta, escluderei il \(\pi\) e \(2\pi \) dalla definizione di angolo convesso e concavo! E semplicemente li chiamerei angolo piatto e angolo giro, un po' come esiste la distinzione tra angolo ottuso, retto e acuto

[the gypsy]

Ciao gypsy, non so dove tu abbia letto questa definizione

Definizione (insieme concavo)
Per negazione della definizione di insieme convesso. Ovvero sul modello: se non è zuppa, è pan bagnato. Tertium non datur.

Ma non sono definiti gli insiemi concavi, esistono solo insiemi convessi! Un insieme che non è convesso è semplicemente non convesso!

Assolutamente no!
Basta prendere un libro delle superiori (o meglio dei licei scientifici, ad esempio matematica.blu a cui faccio riferimento).
Stabilito i concetti primitivi di punto, retta e piano, si danno le seguenti definizioni.

Definizione di Figura
Un sottoinsieme qualsiasi di punti del piano si chiama figura.

Esempi
•) L'intero piano è una figura. È un insieme di punti anche lui.
•) le rette sono figure
•) i punti sono figure
•) Un angolo (che ovviamente definirà dopo) è una porzione (particolare) del piano. Anche l'angolo quindi una figura.
•) I poligoni sono delle figure. Solo che preferiamo chiamarli poligoni perché sono un sottoinsieme particolare della totalità delle figure.

n.b. la figura è di fatto un sottoinsieme del piano.

Poi segue la definizione di convessità come ho sopra riportato (non sto a riscriverla ancora) ... e poi scrive in caso contrario la figura è concava ... quindi, sì ... tertium non datur!

Un qualsiasi insieme di punti del piano è una figura che può essere o convessa o concava (aut ... aut...)

Per quanto riguarda agli angoli convessi e concavi, premetto che non avevo mai incontrato questa terminologia! Comunque sia è solo una terminologia, per indicare angoli di una certa misura! Per esempio in francese adottano nomi diversi, dicono angle saillant (per angolo convesso) e angle rentrant (per angolo concavo), nota che i termini convexe e concave esistono e vengono usate per le funzioni e per l'iniseme dicono ensemble convexe! Credo che in italiano i termini siano stati presi dai poligoni convessi e poligoni concavi; un poligono è detto convesso se è il bordo di un insieme convesso, e si può dimostrare che un poligono convesso possiede tutti gli angoli che sono minori di \(180\) gradi, mentre un poligono concavo possiede almeno un angolo strettamente più grande di \(180\) gradi (angoli interni naturalmente).

Comunque, cercando qua e là, ho trovato (a fatica) queste definizioni di angoli convessi e angoli concavi

Definizione: Un angolo \( \alpha \) è detto convesso quando la misura è compresa tra i 0 e i 180 gradi

Definizione: Un angolo \( \alpha \) è detto concavo quando la misura è compresa tra i 180 e i 360 gradi

Non mi è molto chiaro, perché è ambiguo, se debba contenere gli estremi o meno, ma in entrambi i casi non è un problema!

Stai attento che sebbene i termini sono gli stessi si sta parlando di nozioni differenti! Una è definita per gli angoli, o più precisamente è definita rispetto ad una misura d'angolo, l'altra invece è definita per degli insiemi (non necessariamente sottoinsiemi di \(\mathbb{R}^2\)) e non necessariamente devono coincidere!

No! le nozioni non sono differenti. Tutt'altro! Ecco perché non ti è chiaro.
Okkio che un termine è una "etichetta" che ha un "contenuto" e tale etichetta non è quasi mai casuale.

Una volta chiarito cos'è una figura, tutto ça va sans dire.

Le tue due definizioni di angoli convessi e concavi, non sono definizioni, ma conseguenze di altre definizioni.
Inoltre trascuri i casi "borderline" \(\displaystyle \alpha =180° \) e \(\displaystyle \beta= 360° \)

Tieni presente che il concetto di misura segue quello di congruenza. In tutto ciò che ho scritto nel primo post, la misura non è assolutamente necessaria.



... to be continued

[the gypsy]

Comunque, cercando qua e là, ho trovato (a fatica) queste definizioni di angoli convessi e angoli concavi

Definizione: Un angolo \( \alpha \) è detto convesso quando la misura è compresa tra i 0 e i 180 gradi

Definizione: Un angolo \( \alpha \) è detto concavo quando la misura è compresa tra i 180 e i 360 gradi

Non mi è molto chiaro, perché è ambiguo, se debba contenere gli estremi o meno, ma in entrambi i casi non è un problema!

Stai attento che sebbene i termini sono gli stessi si sta parlando di nozioni differenti! Una è definita per gli angoli, o più precisamente è definita rispetto ad una misura d'angolo, l'altra invece è definita per degli insiemi (non necessariamente sottoinsiemi di \(\mathbb{R}^2\)) e non necessariamente devono coincidere!

Chiaramente la terminologia suggerisce che sono concetti legati, questo penso arrivi appunto dai poligoni che dicevo sopra, ma è anche vero che la regione di piano definita da un angolo \( \alpha \) convesso, di misura \( 0 \leq \alpha < \pi \), è un insieme convesso, mentre la regione di piano definita da un angolo \( \alpha \) concavo, di misura \( \pi < \alpha < 2\pi \) non è un insieme convesso!

Chiaramente tutto il piano \( \mathbb{R}^2 \) è un insieme convesso, la misura del angolo giro è \(2\pi \) quindi in questo caso diremmo che l'angolo giro è concavo (se \(2\pi \) è incluso nella definizione)! Non stai contraddicendo nulla! Sono nozioni e definizioni differenti! Un francese direbbe "\(\mathbb{R}^2\) c'est un ensemble convexe, et l'angle plein est un angle rentrant"!

Per via di questo conflitto di terminologia, perché solo di questo si tratta, escluderei il \(\pi\) e \(2\pi \) dalla definizione di angolo convesso e concavo! E semplicemente li chiamerei angolo piatto e angolo giro, un po' come esiste la distinzione tra angolo ottuso, retto e acuto

In Matematica le ambiguità non possono esserci, i lati sono parte integrante dell'angolo.

Cominciamo dall'inizio.

In geometria si danno 3 concetti primitivi: piano, retta e punto. Questi tre concetti sono la base su cui poggerà l'intero edificio geometrico che si studia nei licei scientifici e (in modo un po' annacquato) nelle altre scuole, ovvero la geometria sintetica (quella che prescinde dalla misura) e la geometria euclidea, dove si usa il concetto di misura (lo si fa scegliendo un capostipite tra le figure omogenee e tutte dovranno "misurarsi" con questa, senza un confronto face2face, cioè un confronto diretto tra le due figure interessate)

Poi si parla di semiretta, segmento, ..., figura (come su definita) ... ovvero in generale si parla di sottoinsiemi particolari del piano, nel senso che hanno caratteristiche geometriche che ci consentono uno studio più approfondito. Introducendo all'occorrenza altre definizioni che serviranno come strumenti per detto studio (la concavità è uno di questi strumenti)


p.s. per curiosità, se si può dire, hai fatto il liceo o un istituto tecnico? E poi quale facoltà?

[3m0o]

Assolutamente no!
Basta prendere un libro delle superiori (o meglio dei licei scientifici, ad esempio matematica.blu a cui faccio riferimento).
Stabilito i concetti primitivi di punto, retta e piano, si danno le seguenti definizioni.

Definizione di Figura
Un sottoinsieme qualsiasi di punti del piano si chiama figura.

Esempi
•) L'intero piano è una figura. È un insieme di punti anche lui.
•) le rette sono figure
•) i punti sono figure
•) Un angolo (che ovviamente definirà dopo) è una porzione (particolare) del piano. Anche l'angolo quindi una figura.
•) I poligoni sono delle figure. Solo che preferiamo chiamarli poligoni perché sono un sottoinsieme particolare della totalità delle figure.

n.b. la figura è di fatto un sottoinsieme del piano.

Poi segue la definizione di convessità come ho sopra riportato (non sto a riscriverla ancora) ... e poi scrive in caso contrario la figura è concava ... quindi, sì ... tertium non datur!

Un qualsiasi insieme di punti del piano è una figura che può essere o convessa o concava (aut ... aut...)

Lascia stare i libri di liceo! Non esiste una definizione universalmente accettata di insieme concavo! La maggior parte degli autori definisce soltanto l'insieme convesso, e tutto il resto sono semplicemente degli insiemi che non sono convessi! Io non ho mai visto da nessuna parte una definizione di insieme concavo! Questo perché è interessante studiare gli insiemi convessi, perché ci sono molti risultati che sono facilmente dimostrabili quando abbiamo insiemi convessi, mentre sono estremamente difficili quando abbiamo un insieme arbitrario! Ho letto però che alcuni autori si riferiscono ad un insieme concavo per dire non convesso, ma è una terminologia fuorviante! Ho letto anche però di autori che utilizzano insieme concavo per dire che il complemento è convesso!
In generale è meglio evitare il termine insieme concavo!

No! le nozioni non sono differenti. Tutt'altro! Ecco perché non ti è chiaro.
Okkio che un termine è una "etichetta" che ha un "contenuto" e tale etichetta non è quasi mai casuale.

Una volta chiarito cos'è una figura, tutto ça va sans dire.

Le tue due definizioni di angoli convessi e concavi, non sono definizioni, ma conseguenze di altre definizioni.
Inoltre trascuri i casi "borderline" \( \displaystyle \alpha =180° \) e \( \displaystyle \beta= 360° \)

Tieni presente che il concetto di misura segue quello di congruenza. In tutto ciò che ho scritto nel primo post, la misura non è assolutamente necessaria.

Sono assolutamente definizioni non equivalenti, quindi sono nozioni differenti!

Definizione insieme convesso:
Sia \( X \) uno spazio vettoriale su un campo ordinato \(K\), un sottoinsieme \(Y \) di \(X\) (dipende dal contesto alcuni autori escludono l'insieme vuoto, altri lo includono) è detto convesso se per ogni \(x,y \in Y \) il segmento \([x,y] \subseteq Y \). Dove con \([x,y] \) s'intende \( \{ x(1-\lambda) + \lambda y : \lambda \in [0,1] \} \).

Prendiamo la seguente definizione di angolo convesso
Definizione angolo convesso:
Dato un angolo \( \alpha \), è convesso se la misura d'angolo \( 0 \leq \alpha \leq \pi \).


Bene! Ora che ci siamo accordati sulle definizioni, prendiamo \( X = \mathbb{R}^2 \), e prendiamo \(Y = \{ y \} \), con \(y \in \mathbb{R}^2\) arbitrario! In questo caso \(Y\) è un insieme convesso, però non ha senso domandarsi se \( \{ y \} \) è un angolo convesso perché non è un angolo, questo già dovrebbe farti capire che le definizioni non sono equivalenti quindi sono nozioni differenti!

In Matematica le ambiguità non possono esserci, i lati sono parte integrante dell'angolo.

Io ho semplicemente detto che la definizione che ho trovato è ambigua perché non chiarifica se gli estremi appartengono o meno alle definizioni! Comunque sia, è una definizione inutile in mia opinione dire se un angolo è convesso o concavo! Non è una cosa molto interessante! Ha la stessa utilità di chiamare un angolo di 90 gradi retto! E' un nome! Non è un concetto particolarmente interessante

Le tue due definizioni di angoli convessi e concavi, non sono definizioni, ma conseguenze di altre definizioni. Inoltre trascuri i casi "borderline" \(\alpha = 180^{\circ}\) e \( \beta = 360^{\circ} \)

Le mie sono definizioni, eccome! Ma se non ti piacciono dammi la tua definizioni e lavoriamo con quella! Il fatto che escludo i casi "borderline" non è assolutamente un problema, è una cosa che si fa ricorrentemente in matematica escludere dalle definizioni dei casi particolari per evitare di specificare ogni volta che un certo numero di proposizioni valgono sempre tranne quei casi particolari!

p.s. per curiosità, se si può dire, hai fatto il liceo o un istituto tecnico? E poi quale facoltà?

Comunque sto studiando matematica teorica al politecnico, ma non in italia, e sono al ultimo anno di magistrale, mi manca la tesi

[3m0o]

Quindi fai Ingegneria, non Matematica.

Per gli ingegneri la matematica è uno strumento, non l'oggetto di studio. Da come approcci la materia, non mi era passato inosservato.

Bòn, comunque non avevo intenzione di svelare l'arcano (cioè l'aporìa), ma principalmente di sensibilizzare "l'opinione pubblica"

No! Non faccio ingegneria caro mio, faccio matematica
Non so come funzioni in italia! Ma dove studio io esistono tre master nella facoltà di matematica, matematica applicata, matematica teorica e computer science! E poi nella facoltà di ingegneria esistono tanti altri master specifici!

[the gypsy]

Assolutamente no!
Basta prendere un libro delle superiori (o meglio dei licei scientifici, ad esempio matematica.blu a cui faccio riferimento).
Stabilito i concetti primitivi di punto, retta e piano, si danno le seguenti definizioni.

Definizione di Figura
Un sottoinsieme qualsiasi di punti del piano si chiama figura.

Esempi
•) L'intero piano è una figura. È un insieme di punti anche lui.
•) le rette sono figure
•) i punti sono figure
•) Un angolo (che ovviamente definirà dopo) è una porzione (particolare) del piano. Anche l'angolo quindi una figura.
•) I poligoni sono delle figure. Solo che preferiamo chiamarli poligoni perché sono un sottoinsieme particolare della totalità delle figure.

n.b. la figura è di fatto un sottoinsieme del piano.

Poi segue la definizione di convessità come ho sopra riportato (non sto a riscriverla ancora) ... e poi scrive in caso contrario la figura è concava ... quindi, sì ... tertium non datur!

Un qualsiasi insieme di punti del piano è una figura che può essere o convessa o concava (aut ... aut...)

Lascia stare i libri di liceo! Non esiste una definizione universalmente accettata di insieme concavo! La maggior parte degli autori definisce soltanto l'insieme convesso, e tutto il resto sono semplicemente degli insiemi che non sono convessi! Io non ho mai visto da nessuna parte una definizione di insieme concavo! Questo perché è interessante studiare gli insiemi convessi, perché ci sono molti risultati che sono facilmente dimostrabili quando abbiamo insiemi convessi, mentre sono estremamente difficili quando abbiamo un insieme arbitrario! Ho letto però che alcuni autori si riferiscono ad un insieme concavo per dire non convesso, ma è una terminologia fuorviante! Ho letto anche però di autori che utilizzano insieme concavo per dire che il complemento è convesso!
In generale è meglio evitare il termine insieme concavo!

No! le nozioni non sono differenti. Tutt'altro! Ecco perché non ti è chiaro.
Okkio che un termine è una "etichetta" che ha un "contenuto" e tale etichetta non è quasi mai casuale.

Una volta chiarito cos'è una figura, tutto ça va sans dire.

Le tue due definizioni di angoli convessi e concavi, non sono definizioni, ma conseguenze di altre definizioni.
Inoltre trascuri i casi "borderline" \( \displaystyle \alpha =180° \) e \( \displaystyle \beta= 360° \)

Tieni presente che il concetto di misura segue quello di congruenza. In tutto ciò che ho scritto nel primo post, la misura non è assolutamente necessaria.

Sono assolutamente definizioni non equivalenti, quindi sono nozioni differenti!

Definizione insieme convesso:
Sia \( X \) uno spazio vettoriale su un campo ordinato \(K\), un sottoinsieme \(Y \) di \(X\) (dipende dal contesto alcuni autori escludono l'insieme vuoto, altri lo includono) è detto convesso se per ogni \(x,y \in Y \) il segmento \([x,y] \subseteq Y \). Dove con \([x,y] \) s'intende \( \{ x(1-\lambda) + \lambda y : \lambda \in [0,1] \} \).

Prendiamo la seguente definizione di angolo convesso
Definizione angolo convesso:
Dato un angolo \( \alpha \), è convesso se la misura d'angolo \( 0 \leq \alpha \leq \pi \).


Bene! Ora che ci siamo accordati sulle definizioni, prendiamo \( X = \mathbb{R}^2 \), e prendiamo \(Y = \{ y \} \), con \(y \in \mathbb{R}^2\) arbitrario! In questo caso \(Y\) è un insieme convesso, però non ha senso domandarsi se \( \{ y \} \) è un angolo convesso perché non è un angolo, questo già dovrebbe farti capire che le definizioni non sono equivalenti quindi sono nozioni differenti!

In Matematica le ambiguità non possono esserci, i lati sono parte integrante dell'angolo.

Io ho semplicemente detto che la definizione che ho trovato è ambigua perché non chiarifica se gli estremi appartengono o meno alle definizioni! Comunque sia, è una definizione inutile in mia opinione dire se un angolo è convesso o concavo! Non è una cosa molto interessante! Ha la stessa utilità di chiamare un angolo di 90 gradi retto! E' un nome! Non è un concetto particolarmente interessante

Le tue due definizioni di angoli convessi e concavi, non sono definizioni, ma conseguenze di altre definizioni. Inoltre trascuri i casi "borderline" \(\alpha = 180^{\circ}\) e \( \beta = 360^{\circ} \)

Le mie sono definizioni, eccome! Ma se non ti piacciono dammi la tua definizioni e lavoriamo con quella! Il fatto che escludo i casi "borderline" non è assolutamente un problema, è una cosa che si fa ricorrentemente in matematica escludere dalle definizioni dei casi particolari per evitare di specificare ogni volta che un certo numero di proposizioni valgono sempre tranne quei casi particolari!

p.s. per curiosità, se si può dire, hai fatto il liceo o un istituto tecnico? E poi quale facoltà?

Comunque sto studiando matematica teorica al politecnico, ma non in italia, e sono al ultimo anno di magistrale, mi manca la tesi

Quindi fai Ingegneria, non Matematica.

Per gli ingegneri la matematica è uno strumento, non l'oggetto di studio. Da come approcci la materia, l'avevo sospettato che non studiavi Matematica.

Senza offesa, ma su questo topic è l'ultima volta che ti rispondo. Perché non è possibile scrivere assurdità del genere.

Bòn, comunque non avevo intenzione di svelare l'arcano (cioè l'aporìa), ma principalmente di sensibilizzare "l'opinione pubblica"