Problema Pitagora

[zaser123]

I due cerchi rappresentati in figura, di centri $ O $ e $ O' $ , hanno entrambi raggio uguale a $ r $ , sono tangenti esternamente tra loro e sono ulteriormente tangenti alla retta $ t $ . Il quadrato $ ABCD $ ha il lato $ AB $ sulla retta $ t $ e gli altri due vertici, $ C $ e $ D $ , che appartengono rispettivamente alle circonferenze che delimitano i due cerchi di centri $ O $ e $ O' $ . Qual'è la misura del lato del quadrato $ ABCD $ ?

Svolgimento: chiamo $ S $ il punto di tangenza tra le due circonferenze . Considero il trapezio $ CDOO' $, questi è isoscele sulla base $ OO' $ quindi gli angoli alla base sono uguali, visto che, ad angoli al centro congruenti, corrispondono corde congruenti, $ DS~= CS $ . Considero il triangolo isoscele $ DCS $ e traccio la sua altezza $ SH $, questa è anche mediana di $ CD $ e quindi divide il lato del quadrato in due parti uguali. Traccio la proiezione di $ H $ su $ AB $. Chiamo $ K $ il punto di tangenza della retta $ t $ rispetto alla circonferenza di centro $ O' $; valuto il triangolo rettangolo $ KO'A $, i cui cateti sono $ AK ~= r+1/2x $ (dove $ x $ è il lato del quadrato) e $ O'K ~=r $ , con $ O'A~= sqrt(2)x+r $ . Applico Pitagora e non arrivo a soluzione.

[ghira]

Non so se è la via migliore ma la prima cosa che mi viene in mente è:

$(r-l)^2+(r-\frac{l}{2})^2=r^2$ dove $l$ è il lato del quadrato.

[the gypsy]

Conviene sfruttare la simmetria della figura.

[zaser123]

Come scrive ghira torna; avevo provato a considerare altri due diversi triangoli rettangoli o cercato di trovare l'area del quadrato , ma la soluzione non combaciava. Grazie.

[BayMax]

Ciao a tutti!

E' da un po' che manco dal forum e mi scuso se mi intrometto in un topic già risolto qualche giorno fa. Ovviamente nulla da dire sulla soluzione proposta da @ghira (che saluto). Volevo solo dire @zaser123 che il suo metodo non funziona in quanto, se non erro (e sono pronto ad essere smentito da persone ben più in gamba di me), l'ipotenusa $O'A$ del triangolo considerato non ha quella misura, poiché i punti $A$, $C$ e $O'$ non sono allineati. Dato che è un errore in cui molti cadono, volevo solo suggerire @zaser123 di fare attenzione e non fidarsi mai di un'apparente simmetria/allineamento dovuto alla particolare figura in questione, ma affidarsi alle proprietà della geometria: se esiste una qualche proprietà che permette di stabilire l'allineamento di quei 3 punti, allora bene, altrimenti non si può essere sicuri che siano allineati solo perché lo sembrano dalla figura.












Scusate ancora per l'intromissione e, come sempre,

saluti