In attesa di ricevere la grazia, pongo un altro quesito

[the gypsy]

\(\displaystyle \phantom{...} \)

L'addizione seguente, \(\displaystyle +: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \) come è definita?

Nel senso, sappiamo come è definita da \(\displaystyle \mathbb N \rightarrow \mathbb N \), cioè conosciamo l'algoritmo (come dobbiamo fare)

Oppure (con un po' di sforzo) da \(\displaystyle \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q \), cioè sappiamo come portare a termine l'operazione con due qualsiasi razionali.

Ma da \(\displaystyle \mathbb R \rightarrow \mathbb R \) ? Come faccio la "somma" ? Cioè, come opero di fatto? Ovvio se i numeri sono in \(\displaystyle \mathbb R \setminus \mathbb Q \), ovvero non razionali.

[megas_archon]

Dipende dalla maniera in cui i reali sono costruiti: per sommare le successioni di Cauchy basta guardare Rudin, coi tagli di Dedekind, puoi fare così: prendi due tagli $x = A | B $ e $ y= C|D $ e definisci la loro somma come il taglio
\[ E =\{a + c\mid a \in A, c \in C \}\qquad F = \mathbb Q \setminus E\]allora $E|F=x+y$ è un taglio di Dedekind.

[the gypsy]

Mi prendo un po' di tempo per la risposta, devo rivedere i tagli di Dedekind (se non ricordo male erano anche sullo Zwirner e sul Giusti). Così potrò magari ri-postare la domanda in modo più comprensibile.

Il mio obiettivo comunque è il solito: partire dalle cose più banali e procedere verso quelle più complesse articolando opportune e possibilmente semplici domande.
Solitamente nei libri di matematica di ogni ordine e grado si buttano giù direttamente le formule, senza mai problematizzare. Al max si trova qualcosa in qualche libro, all'inizio di ogni capitolo. Sarà poi compito del lettore procedere sula stessa linea, se vuole assimilare bene gli argomenti.


Ragionando tra me e me

- i numeri naturali con la loro relazione d'ordine totale sono dati come concetto primitivo, il cui senso è che siamo tutti d'accordo su cosa sono (oggetti che servono per contare) e su come sono ordinati (chi viene prima e chi viene dopo). La definizione di addizione in \(\displaystyle \mathbb N \), con le sue proprietà, poggiano su queste due conoscenze: saper contare e saper ordinare.

L'algoritmo, che ci consente di sommare (inteso come sinonimo di addizionare) due numeri naturali, viene cronologicamente dopo: prima definisco l'azione (contare), poi come compierla mediante una tecnica opportuna (algoritmo).
Ad esempio se so' che un sacchetto ha $7$ oggetti ed un altro ne ha $9$ opero tranquillamente con l'algoritmo imparato alle scuole elementari (che poi è un abaco virtuale) senza dover ricominciare a contare da $1$ ... Non so' se sono stato chiaro.


- Poi si sono presentati i numeri negativi, per la necessità di dover [i]contare anche a ritroso[/i], cioè sottrarre tra loro due numeri. Con un piccolo adattamento dell'algoritmo, si riescono a sommare anche i numeri negativi tra loro e con i numeri positivi. Ovvero riusciamo ad estendere l'operazione di addizione definita nell'insieme dei numeri naturali \(\displaystyle \mathbb N \) anche in $\mathbb Z$.


- La necessità di dover misurare ha evidenziato l'esistenza dei numeri periodici (la divisione tra due numeri può entrare in un loop infinito). Anche qui con uno stratagemma (la cui dimostrazione è un po' un abuso, in quanto manipola un numero con infinite cifre) riusciamo a risalire alla frazione generatrice (la divisione tra i due interi, a meno di multipli comuni) e quindi a sommarli dopo averli ricondotti alla stessa dimensione con il minimo comune multiplo dei denominatori.
Ad esempio $\frac{2}{3} +\frac{1}{2}$ vuol dire (rimontando fino al significato primordiale della operazione di addizione) che devo contare $2$ pezzi di una unità fatta in $3$ pezzi e $1$ pezzo di una unità fatta in $2$ pezzi. Essendo eterogenei posso solo dire che mi prendo due terzi di una unità e un mezzo della stessa unità. Ma se i pezzi che mi porto a casa li faccio tutti della stessa misura (minimo comune multiplo) posso dire in un colpo solo e con esattezza quanti pezzi mi prendo ... ovvero $\frac{7}{6}$ ... un pezzo intero insieme con la sua sesta parte


Allora, fin qui, diciamo che ce l'ho fatta. Ora arriva il problema dei numeri che non sono razionali. Entriamo nel mondo dei numeri reali $\mathbb R$
In questo caso se si tratta di irrazionali (radici ennesime di un numero intero) procedo sfruttando le proprietà delle potenze (prodotto tra radici, proprietà invariantiva, eccetera si deducono tutte da lì).
Per la somma devo accontentarmi del calcolo simbolico. Le due proprietà associativa e commutativa le dovrebbe ereditare dalle potenze.

Diciamo che fino ai razionali posso utilizzare l'algoritmo di somma definito in $\mathbb N$, poi non più perché quell'algoritmo è forgiato per numeri rappresentabili con un numero finito di cifre.
Quando arrivo agli irrazionali lavoro sulla controimmagine che li hanno generati (più o meno come per i numeri periodici)


Mancano i numeri trascendenti ....

ok ... $\pm$ ci sono ... adesso mi guardo Dedekind

[megas_archon]

Solitamente nei libri di matematica di ogni ordine e grado si buttano giù direttamente le formule, senza mai problematizzare.

Questo è quello che succede nei cattivi libri. Trova libri migliori.

i numeri naturali con la loro relazione d'ordine totale sono dati come concetto primitivo, il cui senso è che siamo tutti d'accordo su cosa sono

Siamo estremamente lontani dall'essere d'accordo su cosa siano i numeri, e (fortunatamente) né la struttura di semianello di \(\mathbb N\), né il suo ordine totale, sono "dati come concetti primitivi". L'uomo ha creato i numeri naturali e il settimo giorno, già che c'era, ha inventato Dio.

L'algoritmo, che ci consente di sommare (inteso come sinonimo di addizionare) due numeri naturali, viene cronologicamente dopo: prima definisco l'azione (contare), poi come compierla mediante una tecnica opportuna (algoritmo).

No, questo è pressappoco quello che viene detto ai poveri cristi che studiano pedagogia per imparare la matematica ai ragazzini; per fare matematica (per fortuna) si usano definizioni un po' più formali.

Poi si sono presentati i numeri negativi, per la necessità di dover contare anche a ritroso, cioè sottrarre tra loro due numeri. Con un piccolo adattamento dell'algoritmo, si riescono a sommare anche i numeri negativi tra loro e con i numeri positivi. Ovvero riusciamo ad estendere l'operazione di addizione definita nell'insieme dei numeri naturali \(\displaystyle \mathbb N \) anche in $\mathbb Z$.

Anche qui, quello che stai cercando è una giustificazione intuitiva per i sistemi numerici; questo non ha nulla a che fare (per fortuna) con la loro formalizzazione. O per meglio dire, semmai, è la loro formalizzazione a illuminare la natura dell'intuizione dietro i numeri interi: un'azione dell'insieme dei numeri naturali consta dell'orbita di una mappa \(f : X\to X\) su un insieme $X$; un'azione dell'insieme dei numeri interi corrisponde a rendere questa azione reversibile introducendo una trasformazione \(f^{-1} : X\to X\) con la proprietà che \(f\circ f^{-1} = \text{id}_X = f^{-1}\circ f\).

[megas_archon]

Lascia perdere i libracci dove la matematica viene frantumata per farla entrare a forza nel cervello di un adolescente e leggi un libro vero, per esempio "Practical foundations of Mathematics", di Paul Taylor.

Oppure, se proprio insisti coi libri scritti per ragazzi, leggi "Matematica concettuale" di Lawvere e Schanuel.

[the gypsy]

1) ... non è facile trovarne di buoni. All'università c'erano docenti che problematizzavano prima di formalizzare, ma sui libri non si trovava pressoché nulla.

2) quella è comunque stata l'origine dei numeri naturali, la formalizzazione è arrivata dopo. In algebra al primo anno vengono introdotti ancora così. Del resto per introdurre l'argomento meglio non essere troppo pignoli.

3) sì, ma nel suo dna (etimo) addizionare significa aggiungere, il suo risultato sarà la somma (totalità degli enti). Poi la formalizzazione segue l'apprendimento del concetto.

4) sì, infatti cerco un modo discorsivo per introdurre ed articolare poi il discorso. Diciamo che il modo migliore è l'approccio storico. Però vorrei che gli argomenti siano concatenati in modo fluido, per quanto possibile. Anche se lo sviluppo della matematica non è stato così lineare come presentato nei libri di testo.

[the gypsy]

[quote="megas_archon"]Lascia perdere i libracci dove la matematica viene frantumata per farla entrare a forza nel cervello di un adolescente e leggi un libro vero, per esempio "Practical foundations of Mathematics", di Paul Taylor.

Oppure, se proprio insisti coi libri scritti per ragazzi, leggi "Matematica concettuale" di Lawvere e Schanuel.[/quote]

Ok, più tardi gli do' un'okkiata