Dubbio su trasformazioni geometriche di parabole

[HowardRoark]

Salve a tutti, il mio libro sostiene che la parabola $y=1/9 x^2$ possa essere trasformata in $y=4x^2$ da un'omotetia di centro O e $k=36$. Ma $y=4x^2$ non dovrebbe, invece, essere la dilatazione di $y= 1/9x^2$ di coefficienti 36 sull'asse y e di 1 sull'asse x?

[gio73]

Vediamo cosa significa omotetia di centro l origine e k=36

Ogni punto della parabola $y=1/9x^2$ viene trasformato moltiplicando sia l ascissa che la corrispondente ordinata per 36

Proviamo con qualche punto
0;0 diventa 0;0
1; 1/9 diventa 36;4
3;1 diventa 108;36

Questi punti appartengo o alla parabola $y=4x^2$?
Solo l origine, gli altri direi di no

[HowardRoark]

Vediamo cosa significa omotetia di centro l origine e k=36

Ogni punto della parabola $y=1/9x^2$ viene trasformato moltiplicando sia l ascissa che la corrispondente ordinata per 36

Proviamo con qualche punto
0;0 diventa 0;0
1; 1/9 diventa 36;4
3;1 diventa 108;36

Questi punti appartengo o alla parabola $y=4x^2$?
Solo l origine, gli altri direi di no

Lo stesso ragionamento che ho fatto io, allora direi che la trasformazione corretta sia la dilatazione che ho scritto

[gio73]

Da quale libro hai preso quell esempio?

[HowardRoark]

Da quale libro hai preso quell esempio?

Matematica in movimento di Guidone, terzo volume (beta)

[gugo82]

Le equazioni della omotetia sono:
\[
\left\{\begin{split}
X &= k x\\
Y &= k y
\end{split}\right.
\]
da cui si ricava:
\[
\left\{\begin{split}
x &= \frac{1}{k}\ X\\
y &= \frac{1}{k}\ Y
\end{split}\right.
\]
dunque sostituendo si trova:
\[
y = a x^2\quad \leadsto \quad \frac{1}{k} Y = \frac{a}{k^2}\ X^2 \quad \Rightarrow\quad Y = \frac{a}{k}\ X^2
\]
ossia, tornando alle variabili originarie:
\[
y = \frac{a}{k}\ x^2\; .
\]
Ora, se $a=1/9$ e $a/k = 4$ si deve avere:
\[
\frac{1}{9k} = 4\quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{36}
\]
il che mi fa pensare solo ad un'errore di battitura, ovvero ad una convenzione diversa dalla mia sulla scrittura delle equazioni della trasformazione.

[HowardRoark]

Grazie mille per la risposta Gugo, letto solo ora. Sì anch'io penso sia solo un'errore di battitura dell'autrice.