Limiti

[mel__]

Buongiorno a tutti!
Stavo svolgendo questo esercizio e sono riuscita a risolvere il punto a e b. Il punto c invece non so proprio come impostarlo.
Dai primi 2 punti ho ottenuto che la funzione è: $f(x)=\frac{2}{5} $per$ $ $x <=3 $ e $f(x)=\frac{x^2-2x+1}{10x-20}$ $per$ $x>3$

Grazie in anticipo!

[Noodles]

Premesso che:

Costo reale

$(x^2-2x+1)/(10x-20)$

Costo dichiarato

$x/10$

puoi concludere risolvendo la disequazione sottostante:

$(x^2-2x+1)/(10x-20)-x/10 lt 1/1000 rarr$

$rarr 1/(x-2) lt 1/100 rarr$

$rarr x-2 gt 100 rarr$

$rarr x gt 102$

Insomma, nella soluzione è presente uno 0 di troppo.

[mel__]

Ho provato a svolgerlo in questa maniera ma non si trova il risultato.
La differenza deve essere inferiore al millesimo di euro ogni 10 km. Quindi ho posto la differenza minore di $\frac{10^-3€}{10km}=10^-4 €/{km}$.
La differenza dovrebbe essere tra $\frac{f(x)}{x} e \frac{1}{10}$ dall'asintoto obliquo.
Quindi: $\frac{f(x)}{x} - \frac{1}{10}<10^-4$
Facendo i calcoli arrivo a $x^2-2x-10^3>0$
e la soluzione accettabile è $x>32,6 km$
E' sbagliato come è impostato?

[Noodles]

Premesso che il testo dell'esercizio è piuttosto ambiguo, a mio parere l'autore intendeva chiedere il valore di x per cui la differenza tra il costo calcolato sulla curva e il costo calcolato sull'asintoto obliquo è minore di 1/1000. Motivo per cui, dopo aver eliminato "ogni 10 km" alla fine del punto c, propenderei per un errore di stampa. Insomma, direi di interpretare il testo limitando i danni.

[mel__]

Va benissimo. Grazie mille per l'aiuto!

[Noodles]

Anche io avevo interpretato il testo ottenendo l'altra soluzione. Credimi, il problema non è nostro.

[mel__]

Ho trovato la traccia dello stesso esercizio in cui nel punto c non parla di millesimo ma decimillesimo e il risultato è lo stesso. Quindi penso che questa potrebbe essere la traccia con la correzione ma non mi trovo comunque.

Un decimillesimo di euro ogni 10 km dovrebbe essere $\frac{10^-4}{10}=10^-5$
Quindi: $\frac{x^2-2x+1}{10x-20}-\frac{x}{10}<10^-5$
$\frac{1}{x-2}<10^-4$
$x-2>10^4$
$x>10^4+2$
$x>10002$
Non capisco se sbaglio a scrivere la formula iniziale(al primo membro) oppure se al secondo membro dovrei mettere solo $10^-4$ oppure se è il testo. Facendo con l'altro procedimento, cioè:
$\frac{f(x)}{x}-\frac{1}{10}<10^-5$
$\frac{1}{x^-2x}<10^-4$
$x^2-2x-10^4>0$
$x>101$ che non si trova comunque.

[Noodles]

... ma non mi trovo comunque ...

In che senso? Del resto:

$(x^2-2x+1)/(10x-20)-x/10 lt 1/10000 rarr$

$rarr 1/(x-2) lt 1/1000 rarr$

$rarr x-2 gt 1000 rarr$

$rarr x gt 1002 rarr$

$rarr x_(min)=1003$

[mel__]

Non capisco perché all'inizio fai $<frac{1}{10000}$ cioè $<10^-4$. Io pensavo di dover mettere $<10^-5$ perché ho diviso per i 10 km.
L'altro dubbio è riguardo al risultato. Se esce $x>1002$ perché scegliamo $x=1003$?
Scusami davvero ma questo esercizio mi sta facendo impazzire

[Noodles]

Chi ha un po' di esperienza, guardando la soluzione, si mette nei panni dell'autore e presume che il punto c chieda, semplicemente, il valore di x per cui la differenza tra il costo reale (calcolato sulla curva) e il costo dichiarato (calcolato sull'asintoto obliquo) sia minore di 1/10000 (interpretazione più pulita). Insomma, la logica sottostante il punto c è sicuramente questa. Ergo, dopo aver modificato il testo del punto c:

$(x^2-2x+1)/(10x-20)-x/10 lt 1/10000 rarr$

$rarr 1/(x-2) lt 1/1000 rarr$

$rarr x-2 gt 1000 rarr$

$rarr x gt 1002$

Infine, guardando ancora la soluzione, si deve presumere che la soluzione debba essere intera:

$[x gt 1002] rarr [x_(min)=1003]$

Credimi, non vale la pena perdere altro tempo.