Verifica algebrica di un limite

[Marco1005]

Rieccomi con una delle cose (tra le tante) che non riesco mai a ricordarmi.
Verificare tramite la definizione di limite che valgano i seguenti limiti:

$lim_(x_rarr +oo)x^2=+oo$

l'esempio prosegue con "devo verificare la seguente disequazione"

$f(x)> M$ con $M>0$
$x^2>M$
$x<-M$ $ V$ $x>M$
conclude poi con $x<ln(epsilon)$

è quindi sufficiente prendere $N=sqrt(M)$ per avere $x>sqrt(M)$

$y=f(x)$ tende a $+oo$ per $x$ che tende a $+oo$ quando vale che:

$AAM>0 EEN>0$ tale che preso $x>N$ allora vale che $f(x)>M$
non riesco a capire il senso della definizione

intanto cos'è M?
Qual'è il procedimento mentale che devo seguire?
Grazie mille

[axpgn]

Devi dimostrare che preso un $M$ grande "a piacere" esiste sempre un $x_0$ (che, in genere, dipende dall'$M$ scelto) tale per cui per ogni $x>x_0$ allora $f(x)>M$.

[Marco1005]

Devi dimostrare che preso un $M$ grande "a piacere" esiste sempre un $x_0$ (che, in genere, dipende dall'$M$ scelto) tale per cui per ogni $x>x_0$ allora $f(x)>M$.

la mia $x_0$ in questo caso è il valore a cui tende la x cioè $+oo$ ma oltre a questo non so come andare avanti

[Marco1005]

prendo un "M" grande a piacere, tipo 1.000.000.
so che quando la mia funzione tende a $+oo$ ottengo $oo^2$ che sarà sicuramente piu grande di 1.000.000.
è questo il ragionamento?
ma allora che centra $ln(epsilon)$

[axpgn]

Non lo decidi tu quanto è grande $M$

Se leggi bene quello che ho scritto, è uguale alla definizione che hai dato.

Ora tu devi trovare un $x_0$ (che dipende da $M$, non è a caso) tale che per tutte le $x$ maggiori di $x_0$ (ricorda che il limite è verso $+infty$) la $f(x)$ sia maggiore di $M$.

Se deve essere $f(x)>M$ allora sostituendo la $f(x)$ generica con al tua specifica, otteniamo $x^2>M$ da cui $x>sqrt(M)$ (tutti i valori sono positivi quindi non ci curiamo del valore assoluto) ovvero per ogni valore $x>x_0=sqrt(M)$ è vero che la nostra $f(x)$ è maggiore di $M$.

Ogni volta che scegli un $M$ ottieni un $x_0=sqrt(M)$ per cui vale $f(x)>M$, quindi $M$ sempre più grandi ma $x_0$ sempre più grandi e soprattutto $f(x)$ sempre più grandi e maggiori dell'$M$ che hai scelto.

Più o meno ...

[Marco1005]

Eccomi, pardon del ritardo.
compreso. Alla fine il segreto è partire dal limite, trovare la $x_0$ corrispondente.
Alla fine è come applicare la definizione di funzione crescente no? con $x_2>x_1$ otterrò che, se la funzione è crescente, sarà anche vero che $f(x_2)>f(x_1)$