Baricentro triangolo isoloscele

[HowardRoark]

Un triangolo isoscele la cui base $AB$ è lunga $8cm$ è equivalente a un rombo le cui diagonali sono lunghe $8cm$ e $12cm$.

a) Determina lunghezza della mediana relativa ad $AB$
b) Determina lunghezza delle mediane relative ai lati obliqui

Il punto a) è abbastanza banale. Nel punto b) ho un dubbio. Calcolando $CB=AD=4sqrt(10)$ e ricordando che il baricentro (punto di incontro delle mediane relative ai lati di un triangolo) divide le mediane in due segmenti di cui uno è il doppio dell'altro, ho supposto che i triangoli con lati $2a$ e $a$, dove $a$ è la lunghezza del segmento più piccolo in cui la mediana viene divisa dal baricentro, siano rettangoli. Ho quindi applicato Pitagora: $4a^2 + a^2 = (2sqrt(10))^2$ e sono arrivato alla soluzione.
Però perché i triangoli in questione sono rettangoli? (a breve allego una foto esclusivamente per rendere più chiaro il mio dubbio).

[axpgn]

Beh, l'altezza $CH$ sai quant'è, la distanza dal baricentro alla base sai che è un terzo ...

[HowardRoark]

Beh, l'altezza $CH$ sai quant'è, la distanza dal baricentro alla base sai che è un terzo ...

Continuo a non capire perché siano rettangoli. Sarà sicuramente una sciocchezza ma per ora mi sfugge.

[axpgn]

Quello è per caso, non devi supporlo.
Riflettici, è più semplice di quello che sembra

[HowardRoark]

Quello è per caso, non devi supporlo.
Riflettici, è più semplice di quello che sembra

Se è per caso allora come le posso trovare le mediane relative ai lati obliqui (senza applicare Pitagora)?

[axpgn]

L'altezza tracciata da $C$ sulla base $AB$ è lunga $12$.
La distanza tra il baricentro e la base è un terzo di questa quindi è $4$ che guarda caso è la stessa misura di mezza base.
Due cateti lunghi $4$, quanto sarà l'ipotenusa ovvero il segmento da $A$ al baricentro?

[HowardRoark]

L'altezza tracciata da $C$ sulla base $AB$ è lunga $12$.
La distanza tra il baricentro e la base è un terzo di questa quindi è $4$ che guarda caso è la stessa misura di mezza base.
Due cateti lunghi $4$, quanto sarà l'ipotenusa ovvero il segmento da $A$ al baricentro?

Ok ora ho capito, non so perché non avevo proprio considerato di applicare Pitagora a quel triangolo. Grazie mille!

[sellacollesella]

Continuo a non capire perché siano rettangoli.

Come è già stato scritto non è necessario saperlo, altrimenti scritti i vertici di un generico triangolo: \[
A(0,\,0), \quad \quad B(b,\,0), \quad \quad C(c,\,h)
\quad \quad \Rightarrow \quad \quad
G\left(\frac{0+b+c}{3},\,\frac{0+0+h}{3}\right)
\] ne consegue che: \[
\overline{G-A} \cdot \overline{G-B} = 0
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
\frac{c^2 - b\,c + h^2 - 2\,b^2}{9} = 0
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
c = \frac{b}{2} \pm \frac{\sqrt{9\,b^2-4\,h^2}}{2}
\] e dovendo risultare \(c = \frac{b}{2}\) è evidente che debba essere \(9\,b^2 - 4\,h^2 = 0\), ossia \(\frac{b}{h} = \frac{2}{3}\), che putacaso è proprio il rapporto tra base e altezza del triangolo in esame, motivo per il quale i due triangoli da te individuati sono rettangoli e quindi sia possibile applicare proficuamente il teorema di Pitagora.

[HowardRoark]

Come è già stato scritto non è necessario saperlo, altrimenti scritti i vertici di un generico triangolo: \[
A(0,\,0), \quad \quad B(b,\,0), \quad \quad C(c,\,h)
\quad \quad \Rightarrow \quad \quad
G\left(\frac{0+b+c}{3},\,\frac{0+0+h}{3}\right)
\] ne consegue che: \[
\overline{G-A} \cdot \overline{G-B} = 0
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
\frac{c^2 - b\,c + h^2 - 2\,b^2}{9} = 0
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
c = \frac{b}{2} \pm \frac{\sqrt{9\,b^2-4\,h^2}}{2}
\] e dovendo risultare \(c = \frac{b}{2}\) è evidente che debba essere \(9\,b^2 - 4\,h^2 = 0\), ossia \(\frac{b}{h} = \frac{2}{3}\), che putacaso è proprio il rapporto tra base e altezza del triangolo in esame, motivo per il quale i due triangoli da te individuati sono rettangoli e quindi sia possibile applicare proficuamente il teorema di Pitagora.

Non ho capito un po' di cose della tua dimostrazione. $\bar{G-A} = G$ è un punto, non un segmento. $\bar{G-B} = ((-2b+c)/3; h/3)$ è un punto anche questo credo. Poi non ho capito perché fai la doppia implicazione, però ho da ripassare ancora parecchie cose e purtroppo non posso dedicare troppo tempo ai singoli esercizi. L'importante è che riesca ad applicare bene le cose che sto ripassando.
Ti ringrazio comunque per la dimostrazione analitica, io sono stato fortunato perché l'esercizio avrei dovuto risolverlo come suggeriva axpgn.

[sellacollesella]

Sì, l'esercizio era risolubile elementarmente come indicato da axpgn e non è una questione di fortuna, gli esercizi sono sempre calibrati a seconda dei capitoli teorici a cui si riferiscono. D'altro canto, dato che eri curioso di sapere il perché avesse funzionato anche il tuo metodo, ossia perché quei determinati triangoli fossero rettangoli, ho considerato i vettori \(\overline{G-A}\) e \(\overline{G-B}\) ed ho imposto che siano perpendicolari, ossia che il loro prodotto scalare sia identicamente nullo. Dopo sono solo considerazioni algebriche, nulla di più.