Problema con percentuali

[carolapatr]

Una soluzione da 1 L è composta dal 60% di acqua e la restante parte da cloruro di sodio. Quanta acqua va aggiunta in modo che questa diventi l'80% della nuova soluzione?
Risposta corretta: 1 litro e 40 cl

Il risultato non mi torna. Posto di seguito un tentativo di risoluzione

In una soluzione di 1 litro, l'acqua corrisponde a 600 mL mentre 400 mL sono di cloruro di sodio. Dal momento che l'unica componente aggiunta è l'acqua, la quantità di cloruro di sodio rimane fissa e pari a 400 mL. Dovendo il cloruro rappresentare il 20% della nuova soluzione, scrivo
20 mL : 100 mL = 400 mL : x
x = 2000 mL

Considerando che la nuova soluzione ammonta a 2 L, calcolo la quantità di acqua necessaria affinché questa possa rappresentare l'80% della soluzione
80 mL : 100 mL = x : 2000 mL
x = 1600 mL

Quanta acqua è stata aggiunta? Si avevano 600 mL di acqua, ora sono ben 1600 mL per cui sono stati aggiunti 1000 mL di H2O

[mgrau]

Una soluzione da 1 L è composta dal 60% di acqua e la restante parte da cloruro di sodio. Quanta acqua va aggiunta in modo che questa diventi l'80% della nuova soluzione?
Risposta corretta: 1 litro e 40 cl

Il problema non mi sembra risolubile, i dati mi sembrano non realistici, e non mi sembrano sufficienti.
Le percentuali saranno date in peso, non in volume (che vorrebbe dire il 40% di sale in volume?), quindi il 40% del peso è sale. Ma quanto è il sale? Quanto pesa un litro di soluzione? Dovremmo avere la densità.
Una soluzione satura di sale in condizioni normali ha una densità di 1.2, solo che non è al 40%, ma al 28%.
Non mi sembra che esistano condizioni per avere una soluzione al 40%, per cui la densità non è nota, così non sappiamo quanto sale c'è nella soluzione.
Facendo finta di conoscere la densità $rho$ di una ipotetica soluzione al 40%, avremmo una quantità di sale di $0.4 rho$ e di acqua $0.6 rho$. Perchè l'acqua sia l'80%, e il sale il 20%, la quantità di acqua dovrebbe essere $1.6 rho$ e quindi aumentare di $rho$ (Perdonate l'uso disinvolto delle unità di misura).
La risposta "corretta" 1.4 lt implicherebbe allora una densità $1.4$ .
E, in più, si dovrebbe anche supporre che la densità rimanga la stessa cambiando la diluizione? Non pare possibile.
In conclusione, vedo due strade:
- sto prendendo una enorme cantonata
- il problema è sballato
Spero che qualcuno intervenga per decidere la questione

[giammaria]

@ carolapatr
I tuoi calcoli sono esatti fino a x=2000 ml, ma poi devono continuare così:
In millilitri, in totale avevo 1000 ed ora ho 2000; ho aggiunto solo acqua, e quindi ne ho aggiunta $2000-1000=1000$.

@ mgrau
Considerando il titolo usato da carolapatr, credo che si intenda che, in peso, il sale è i $40/100$ del peso totale. Certo, sarebbe meglio usare i grammi, ma 1 millilitro di acqua pesa quasi esattamente un grammo e spesso le due unità vengono usate indifferentemente.
Quanto all'assurdità dei dati, tu stesso dici "in condizioni normali" e nulla garantisce di essere in queste condizioni; ad occhio e croce, direi che in 60 g di acqua ben calda si possono sciogliere 40 g di sale. E comunque capita spesso che chi inventa i problemi si preoccupi solo di mettervi dati che rendano facili i calcoli, senza chiedersi se sono realistici o no.

[mgrau]

@ carolapatr
I tuoi calcoli sono esatti fino a x=2000 ml, ....

Ma no che non sono esatti. In un litro di soluzione al 40% di sale (ammesso che fosse possibile), non è affatto vero che di acqua ce ne siano 600g (o ml), la densità della soluzione non è 1.

@ mgrau
...
Quanto all'assurdità dei dati, tu stesso dici "in condizioni normali" e nulla garantisce di essere in queste condizioni; ad occhio e croce, direi che in 60 g di acqua ben calda si possono sciogliere 40 g di sale.

Ma proprio no. 100g d'acqua, non 60, a 100°, sciolgono un po' meno di 40g di sale. Ma siamo d'accordo, questo è il problema minore.

[giammaria]

@ mgrau
Evidentemente il problema è troppo tecnico per me: cosa intendi dicendo che la densità non è 1? Ed anche nel tuo post precedente, con quale ragionamento hai dedotto che ad una densità di 1,2 corrisponde una percentuale del 28%? Se occorre una lunga spiegazione, forse è meglio sorvolare.
Qui si parla di percentuali, e per questo ho scritto "credo che si intenda che, in peso, il sale è i $40/100$ del peso totale"; con questa interpretazione, i calcoli di carolapatr sono giusti fino al punto indicato.
Grazie per le indicazioni sulla solubilità del sale in acqua; anche a me i grammi di sale sembravano un po' eccessivi ma nel dubbio li accettavo. E siamo d'accordo nel dire che è un problema minore.

[mgrau]

@ mgrau
Evidentemente il problema è troppo tecnico per me; cosa intendi dicendo che la densità non è 1?

Semplicemente che, per dedurre che, se in un litro di qualcosa il 60% (in peso) è acqua, allora ci sono 600g di acqua, bisogna che il litro pesi 1 Kg, ossia che abbia densità 1, cosa che invece non è.

Ed anche nel tuo post precedente, con quale ragionamento hai dedotto che ad una densità di 1,2 corrisponde una percentuale del 28%? Se occorre una lunga spiegazione, forse è meglio limitarsi a dire che è troppo lungo spiegarlo.

Nessun ragionamento: è un dato di fatto, che anch'io ho dovuto andarmi a cercare: "Densità di una soluzione salina satura". Semplicemente volevo notare che le relazioni fra la quantità di soluto e la densità della soluzione - che è essenziale conoscere per poter rispondere - non sono per niente ovvie.

[giammaria]

Sì ,adesso ho capito; però tu parli di densità, il cui concetto coinvolge anche il volume. Però in questo problema il volume non c'entra, almeno secondo la mia interpretazione: parlando del 40%, si intende che ho 40 g di soluto in 100 g di peso totale (o massa, ma non sottilizziamo). Facendo una soluzione, il volume cambia, ma i pesi restano invariati.
Credo che l'equivoco nasca dal fatto che carolapatr ha usato come unità di misura i millilitri; avrebbe senz'altro fatto meglio ad usare i grammi ma, come ho già scritto, spesso non si fa distinzione fra le due unità.
O forse nasce da una diversa definizione della concentrazione: tu la consideri il rapporto fra il peso del soluto ed il volume totale, mentre per me è il rapporto fra due pesi. Probabilmente la tua definizione è la più conforme all'uso ed alle leggi, ma la mia mi sembra più sensata perché le percentuali vengono sempre calcolate con grandezze aventi la stessa unità di misura: nessuno si sognerebbe di dire che 30 chili sono il 30% di 100 metri.