Dubbio intersezione insiemi

[Marco1005]

Buona sera,
piccolo dubbio sugli insiemi.
$(A nn B) nn C$ lo rappresenterei così





ma è la stessa cosa scrivere $A nn B nn C$
Nelle immagini su internet mi pare di vedere cose diverse, tipo queste

[Mephlip]

Hai ragione tu, la seconda immagine è sbagliata.

[Marco1005]

Hai ragione tu, la seconda immagine è sbagliata.

Grazie mille. Quindi è la stessa cosa scrivere $A nn B nn C$ e $(A nn B) nn C$?
P.s ho ancora il tuo vecchio post a cui rispondere.

[Mephlip]

Prego! Secondo te? Che significa $A \cap B \cap C$ dal punto di vista logico? E $(A \cap B) \cap C$?

[Marco1005]

Prego! Secondo te? Che significa $A \cap B \cap C$ dal punto di vista logico? E $(A \cap B) \cap C$?

$A \cap B \cap C$ = A in comune con B e poi B in comune con C? era questo il mio dubbio.
detto così è come fosse una collana - A collegato a B, e B collegato a C.
ma so che non è così, ma leggendolo mi viene da vederlo in questo modo

[Mephlip]

Il fatto è che, prima di osservare che l'intersezione è associativa, non è ben chiaro che significhi fare $A \cap B \cap C$ perché l'intersezione insiemistica è definita per due elementi (ossia, è un'operazione binaria).

Quindi, quando si passa a più di due insiemi, ci sono due possibili interpretazioni: $(A \cap B) \cap C$ o $A \cap (B \cap C)$. Le parentesi, a priori, sono d'obbligo perché bisogna prima stabilire chi è $A \cap B$ (oppure $B \cap C$, nel secondo caso) e a quel punto, essendo ora $A \cap B$ un unico insieme, si può operare in maniera binaria su $C$ (oppure su $A$, nel secondo caso). Tuttavia, dato che dal punto di vista logico l'intersezione coincide con il connettivo "e" e dalle tavole di verità del connettivo "e" si deduce che fare $(p \ \text{e} \ q) \ \text{e} \ r$ o fare $p \ \text{e} \ (q \ \text{e} \ r)$ è la stessa cosa, otteniamo che la congiunzione logica "e" è associativa e quindi si possono omettere le parentesi nella scrittura di $n$ (intero positivo) insiemi.

Quindi no, $A \cap B \cap C$ non è quello che hai scritto, ma è l'insieme costituito da tutti gli elementi comuni di $A$, $B$ e di $C$; che è la stessa cosa dell'insieme costituito da tutti gli elementi comuni di $A \cap B$ e di $C$ che è la stessa cosa dell'insieme costituito da tutti gli elementi comuni di $A$ e $B \cap C$.

[DavidGnomo]

Prego! Secondo te? Che significa $A \cap B \cap C$ dal punto di vista logico? E $(A \cap B) \cap C$?

$A \cap B \cap C$ = A in comune con B e poi B in comune con C? era questo il mio dubbio.
detto così è come fosse una collana - A collegato a B, e B collegato a C.
ma so che non è così, ma leggendolo mi viene da vederlo in questo modo

Vediamo se ti può essere utile.
Premessa:
L'intersezione è un'operazione binaria. Agisce, quindi, su due operandi (gli insiemi).
Inoltre, tra le altre, gode delle seguenti proprietà:

1) Commutatività: $A \cap B = B \cap A$
2) Associativa: $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

Poichè è un'operazione binaria, se le altre proprietà non esistessero, nel caso di intersione di più insiemi dovremmo sempre usare le parentesi per capire dove cominciare ad intersecare.
Esempio:
Vogliamo intersecare 4 insieemi: A, B, C e D.
Dovremmo quindi:
- Effettuare l'intersezione tra A e B
- Il risultato della prima intersezione intersecarlo con C
- Ancora una volta il risultato ottenuto precedentemente intersecarlo con D
Per cui avremmo dovuto calcolare un insieme del genere: $((A \cap B) \cap C) \cap D$.

Dalla 1 possiamo concludere che posso scambiare gli operandi senza che il risultato ne venga compromesso.
Dalla 2 possiamo concludere che non importa quali sono i 2 insiemi da cui parto ad operare, il risultato sarà sempre lo stesso.

Mettendo insieme 1 e 2, non avremo più bisogno delle parentesi che ci indicano l'ordine con cui eseguire le operazioni e l'ordine degli operandi.

Spero di essere stato chiaro e non aver scritto inesattezze

[Marco1005]

. Tuttavia, dato che dal punto di vista logico l'intersezione coincide con il connettivo "e" e dalle tavole di verità del connettivo "e" si deduce che fare $(p \ \text{e} \ q) \ \text{e} \ r$ o fare $p \ \text{e} \ (q \ \text{e} \ r)$ è la stessa cosa, otteniamo che la congiunzione logica "e" è associativa e quindi si possono omettere le parentesi nella scrittura di $n$ (intero positivo) insiemi.

Grazie per la risposta supercompleta - il connettivo "e" mi crea sempre problemi perchè lo penso sempre come unione, invece devo ragionare su "e" come " fa parte dell'insieme A e contemporaneamente fa parte dell'insieme B", quindi intersezione.
Nei libri di testo spesso viene omessa la parentesi quindi mi sono posto il dubbio. Ora risolto
Grazie mille

[Marco1005]

Dalla 1 possiamo concludere che posso scambiare gli operandi senza che il risultato ne venga compromesso.
Dalla 2 possiamo concludere che non importa quali sono i 2 insiemi da cui parto ad operare, il risultato sarà sempre lo stesso.

Mettendo insieme 1 e 2, non avremo più bisogno delle parentesi che ci indicano l'ordine con cui eseguire le operazioni e l'ordine degli operandi.

Spero di essere stato chiaro e non aver scritto inesattezze

Grazie mille per la risposta, anch'essa chiarissima