Derivate e caduta gravi

[Themirhaccio]

Ho il seguente problema che nel libro di testo si trova negli esercizi della "teoria delle derivate" ma non saprei da dove cominciare.

Una lampada è ad 80 metri dal suolo. Si lascia cadere un sasso da un punto situato a 40 metri dalla lampada nello stesso piano orizzontale. Trovare la velocità dell'ombra del sasso sul suolo dopo un secondo.

Ho fatto i calcoli relativi alla caduta dei gravi, il sasso dopo un secondo ha percorso 5 m con velocità finale di 10 m/s. A questo punto mi trovo con il triangolo ABC che è quello lampada-posizione iniziale del sasso- posizione finale del sasso. L'ipotenusa di questo triangolo collegata a terra individua la posizione dell'ombra che ho indicato con P.

Si forma un ulteriore triangolo CPO simile al precedente ABC, dove con O ho indicato il punto finale della caduta del sasso. Il cateto OP per similitudine è di 600 m.

Anche il moto dell'ombra a terra deve essere qualcosa di uniformemente accelerato, di cui conosco la posizione iniziale e finale (600 m e 0) ma non riesco a capire come collegarlo con quello del sasso e con la teoria delle derivate.

Grazie

[axpgn]

Devi "costruire" l'equazione del moto dell'ombra e farne la derivata per calcolare la velocità.

[sellacollesella]

Individuati i due triangoli rettangoli ad un istante temporale \(t>0\):

è sufficiente calcolare \(x_B(t)\) e poi \(\dot{x}_B(t)\), che è la velocità dell'ombra.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

@axpgn: scusa l'accavallamento, ma non ho voluto cestinare il disegno.

[Themirhaccio]

Grazie delle risposte

Grazie ai suggerimenti ho risolto in questo modo. Detto $s$ lo spostamento dell'ombra rispetto alla verticale di caduta del grave, guardando i triangoli simili come da grafico prima:

$s: 40 = (80-1/2g*t^2):1/2g*t^2$

e quindi ho ottenuto la funzione di $s$ nel tempo

$ s=640/t^2-40 $ (ho approssimato g a 10 m/s^2)

Ho calcolato il modulo della derivata

$ |(ds)/dt|=1280/x^3 $

il risultato differisce da quello del libro per l'approssimazione di g ma il procedimento è corretto (ho controllato ma non mi sono segnato i risultati)

Grazie a tutti