Calcolo derivata parziale

[Marco1005]

Buona sera a tutti,
ho un dubbio sulla risoluzione della seguente derivata parziale:

$z=sqrt(x/y)-e^(1/x)$

riscrivo in forma esponenziale la radice quadrata

$(x/y)^(1/2)-e^(1/x)$

sono entrambe derivate composte.
calcolo $z'_x$= $1/2*(x/y)^(-1/2)*1/y-e^(1/x)*(-1/(x^2))$

il mio problema è stato calcolare la derivata interna di $x/y$
sono partito applicando la formula della derivata del quoziente, per poi rendermi conto che non posso derivarla in quel modo (come invece ho fatto con l'esponente della "e").
avete qualche metodo per potermi ficcare nella testa di non fare quell'abominio?
io personalmente ho riscritto $x/y$ come $xy^-1$, che da derivare rispetto a x risulta piu "ovvia".
Grazie mille

[Mephlip]

In realtà non è sbagliato, è solo superfluo. Infatti, se si pensa $y$ come una funzione di due variabili costante in $x$ (ossia, una funzione $f(x,y)=y$) si ha per ogni $y \ne 0$:
$$\frac{\partial z(x,y)}{\partial x}=\frac{\frac{\partial (x)}{\partial x} \cdot y - x \cdot \frac{\partial (y)}{\partial x}}{y^2}=\frac{1\cdot y- x \cdot 0}{y^2}=\frac{y}{y^2}=\frac{1}{y}$$
Comunque, per denotare la derivata parziale non scrivere l'apice su $z$ nel momento in cui scrivi il pedice $x$: infatti, scrivendo il pedice si capisce già che è una derivata prima rispetto a $x$ (e le derivate successive si indicano con più pedici, ad esempio $z_{xyx}$ o $z_{yyy}$). La notazione con gli apici si usa esclusivamente per le funzioni di una variabile. Inoltre, tanto per fare il pedante anche sulla terminologia: le derivate si calcolano, non si risolvono .

Se vuoi procedere nell'altro modo, serve tanta pratica e comprensione del fatto che le derivate parziali sono definite come derivate rispetto a una sola variabile tenendo le altre fissate: quindi, nei prodotti, ogni funzione indipendente dalla variabile rispetto alla quale si deriva può essere portata fuori come una costante. Quindi, basta notare che $\frac{x}{y}=\frac{1}{y} \cdot x$.

[Marco1005]

Grazie mille per la risposta. pardon del ritardo
si in questi giorni ho provato ad applicare comunque la formula ed effettivamente risulta corretto.
Quando derivo, derivo solo la variabile in modo parziale, mentre quando la formula prevede numeratore normale e denominatore normale ripeto banalmente la funzione tradizionale. Per la notazione l'ho scritta così perchè il libro zanichelli la riporta così