Funzione

[Davidemotta1]

Ciao a tutti vi chiedo se riuscite a svolgere questa funzione: (valore assoluto di x - valore assoluto di x-4) diviso 2x-9. Grazie in anticipo

[sellacollesella]

Assegnata la funzione \(f : \mathcal{D} \to \mathbb{R}\) di legge: \[
f(x) := \frac{|x|-|x-4|}{2x-9}
\] al solito, si inizia determinando il dominio naturale: \[
\mathcal{D} = \mathbb{R}\backslash\left\{\frac{9}{2}\right\}.
\] Ciò fatto, io sono abituato a sbarazzarmi dei valori assoluti applicando la definizione: \[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{-x+(x-4)}{2x-9} & \text{se} \; x < 0 \\
\frac{x+(x-4)}{2x-9} & \text{se} \; 0 \le x < 4 \\
\frac{x-(x-4)}{2x-9} & \text{se} \; x \ge 4 \land x \ne \frac{9}{2} \\
\end{cases}
\] ossia, semplificando un po': \[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{-4}{2x-9} & \text{se} \; x < 0 \\
\frac{2x-4}{2x-9} & \text{se} \; 0 \le x < 4 \\
\frac{4}{2x-9} & \text{se} \; 4 \le x < \frac{9}{2} \, \vee \, x > \frac{9}{2}
\end{cases}.
\] Da qui in poi lo studio di funzione si esegue al solito modo, avendo cura di tenere conto di tutti e tre i casi, specie nei due punti di raccordo \(x=0\) e \(x=4\) in cui occorre indagare per bene come si saldano le tangenti.

[giammaria]

A quanto scritto da sellacollesella faccio due aggiunte.
1) A parte il vedere come si saldano le tangenti, puoi anche evitare le derivate, la ricerca degli asintoti ed altro.. Infatti le tre formule trovate sono quelle di iperboli equilatere con asintoti paralleli agli assi; puoi quindi usare l'analitica al posto dell'analisi.
2) Le due funzioni della prima e terza riga differiscono solo nel segno, e quindi i due grafici sono simmetrici fra loro rispetto all'asse x; ti basta studiarne una sola e da lì deduci il grafico dell'altra.