Problema geometria

[zaser123]

E' dato un trapezio $ ABCD $, di base maggiore $ AB $ e base minore $ CD $. Sia $ O $ il punto di intersezione delle diagonali del trapezio ed $ E $ il punto di intersezione dei prolungamenti dei lati obliqui $ AD $ e $ BC $. Dimostra che il segmento $ EO $ dimezza $ CD $ .
Ragionamento: ho tracciato la parallela alle basi passante per $ O $ e ho cercato di valutare i rapporti che coinvolgono i lati dei vari triangoli simili che si vengono a formare,senza esito.

[mgrau]

Cominciamo a prolungare $EO$ fino ad incontrare $AB$ e chiamiamo $M$ e $N$ i punti in cui incontra $AB$ e $CD$.
Si tratta di dimostrare che $N$ è il punto medio di $CD$ (e anche $M$ di $AB$).
1) La proposizione ($P$) è banalmente vera se il trapezio è isoscele
2) Un qualsiasi triangolo $ABE$ (e un qualsiasi trapezio) si può far diventare isoscele sulla base $AB$ con una trasformazione che fa "scorrere" il vertice $E$ sino a portarsi sull'asse di $AB$.
Nel caso nostro, se tracciamo due assi $x$ e $y$ con l'origine in $M$ e $x$ su $AB$, la trasformazione deve portare il vertice $E$, di coordinate $x_0;y_0$ nel punto $E'$ di coordinate $0;y_0$, e in generale, ogni punto deve subire la trasformazione
$x' = x - (x_0/y_0)y$
$y' = y$
cioè una traslazione orizzontale di ampiezza proporzionale a $y$
3) questa trasformazione è lineare, per cui trasforma una retta in una retta, e
4) conserva la lunghezza dei segmenti orizzontali
5) se allora guardiamo il triangolo $ABE$ e il trapezio $ABCD$ e applichiamo la trasformazione otteniamo il triangolo $ABE'$ ($A$ e $B$ non si spostano) e il trapezio $ABC'D'$, isosceli, in cui sappiamo che $P$ è vera.
6) la retta che passa per $E, N, O, M$ diventa la retta $E'N'O'M'$
7) inoltre $CN$ = $C'N'$ e $DN$ = $D'N'$, ma $N'$ è il punto medio di $C'D'$ quindi anche $N$ è il punto medio di $CD$, che è la tesi

[zaser123]

Premesso che ho avuto molto marginalmente a che fare con le traslazioni, quindi necessito di spiegazioni molto approfondite. Domanda stupida : se devo far coincidere $ E $ con $ E' $ devo traslare anche gli altri vertici di $ ABE $ quindi avrò $ EM $ che non sarà più l'asse di $ AB $. Dove sbaglio?

[mgrau]

$AB$ non si sposta, sta sull'asse $x$, e lì l'ampiezza della traslazione è zero. Devi immaginare di tener fissa la base $AB$ e "raddrizzare" il triangolo (e il trapezio) tirando il vertice $E$ di lato.
(in effetti, non so se ti terrebbero buona questa dimostrazione. Ma un'altra più "normale" non mi viene in mente. )

[giammaria]

Do anche un'altra soluzione, senza traslazioni; lo faccio solo per cenni, in modo da non togliere il gusto di trovarla.
Dette P, Q le intersezioni della parallela tracciata da zaser123 con AD, BC, comincio col dimostrare che PO=OQ: lo faccio con due similitudini seguite dal teorema di Talete. In questa parte il punto E può essere trascurato.
Poi, con similitudini che coinvolgono E ed usando la PO=OQ, dimostro la tesi voluta.
Probabilmente ci sono anche metodi più rapidi, ma per ora non mi vengono in mente.

[Quinzio]

Nel disegno sottostante la retta $GH$ e' parallela ad $AB$.

I triangoli $ABD$ e $ABC$ hanno la stessa area (1), siccome condividono la stessa base e hanno la stessa altezza.

Il tr. $DGO$ e' simile al tr. $ABD$ e
il tr. $COH$ e' simile al tr. $ABC$.

Inoltre, il rapporto di similitudine (il rapporto tra le lunghezze dei lati) di queste due ultime coppie di triangoli e' lo stesso grazie al teorema di Talete (https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Talete).

Possiamo quindi scrivere:
$("Area"(DGO))/("Area"(ABD)) = ("Area"(COH))/("Area"(ABC))$

Grazie a (1):
$"Area"(DGO) = "Area"(COH)$

Siccome questi ultimi due tr. hanno la stessa altezza, vale anche (2)
$\bar{GO} = \bar{OH}$

Inoltre considerando che:
il tr. $EDF$ e' simile al tr. $EGO$,
il tr. $EFC$ e' simile al tr. $EOH$
e grazie al secondo criterio di similitudine dei triangoli (https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... onseguenze):
e' vero che:
$(\bar{GO})/(\bar{DF})=(\bar{OH})/(\bar{FC})$.

Considerando la (2) si arriva alla conclusione, cioe' che:
$\bar{DF}=\bar{FC}$

ovvero che il segmento $\bar{CD}$ e' diviso a meta'.

[zaser123]

Ok ho capito,grazie a tutti.