Nel disegno sottostante la retta $GH$ e' parallela ad $AB$.
I triangoli $ABD$ e $ABC$ hanno la stessa area (1), siccome condividono la stessa base e hanno la stessa altezza.
Il tr. $DGO$ e' simile al tr. $ABD$ e
il tr. $COH$ e' simile al tr. $ABC$.
Inoltre, il rapporto di similitudine (il rapporto tra le lunghezze dei lati) di queste due ultime coppie di triangoli e' lo stesso grazie al teorema di Talete (
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Talete).
Possiamo quindi scrivere:
$("Area"(DGO))/("Area"(ABD)) = ("Area"(COH))/("Area"(ABC))$
Grazie a (1):
$"Area"(DGO) = "Area"(COH)$
Siccome questi ultimi due tr. hanno la stessa altezza, vale anche (2)
$\bar{GO} = \bar{OH}$
Inoltre considerando che:
il tr. $EDF$ e' simile al tr. $EGO$,
il tr. $EFC$ e' simile al tr. $EOH$
e grazie al secondo criterio di similitudine dei triangoli (
https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_d ... onseguenze):
e' vero che:
$(\bar{GO})/(\bar{DF})=(\bar{OH})/(\bar{FC})$.
Considerando la (2) si arriva alla conclusione, cioe' che:
$\bar{DF}=\bar{FC}$
ovvero che il segmento $\bar{CD}$ e' diviso a meta'.