Similitudine triangoli

[zaser123]

Il triangolo $ ABC $ è retto in $ B $ . Considera sul lato $ BC $ il punto $ D $ tale che $ 3 hat(BAD)=hat(BAC) $ . Sapendo che $ AC=4 cm $ e $ CD=2 cm $ , determina la lunghezza di $ BD $ .
Ragionamento: Il problema si dovrebbe risolvere con Talete/similitudini. Non riesco a individuare rapporti che mi possono aiutare. Non so come si possa sfruttare l'equazione relativa agli angoli che mi dà , ho tracciato $ AE $ con $ 3 hat(DAE)=hat(BAC) $ , ma non vedo cose interessanti. Ho tracciato la parallela ad $ AB $ passante per $ D $ , per ragionare con Talete ma ho un altra incognita oltre a $ BD $ .

[mgrau]

Se chiami $theta$ l'angolo $BAD$, l'angolo $DAC = 2 theta$, puoi esprimere anche gli angoli $ADC$ e $ACD$ in termini di $theta$, e applicando il teorema dei seni al triangolo $ACD$, lati $AC$ e $CD$, trovi $theta$, poi è facile

[zaser123]

Non ho fatto trigonometria, non conosco questo teorema

[giammaria]

Prolunga BC di un segmento $BE=BD=x$; hai $DE=2x$ e $BC=x+2$. Hai inoltre $E hatA D=D hatAC$ ed il teorema della bisettrice applicato al triangolo EAC dà
$(DE)/(CD)=(AE)/(AC)->(2x)/2=(AE)/4->AE=4x$
AB è cateto sia di ABE che di ABC, quindi
$AE^2-BE^2=AC^2-BC^2->(4x)^2-x^2=4^2-(x+2)^2$
e risolvendo questa equazione trovi $x=-1$ (da scartare) ed $x=3/4$. Perciò
$BC=x+2=3/4+2=11/4$
Escludendo la trigonometria, questo è un problema non facile; mi stupisce che il testo non dia suggerimenti.

[zaser123]

Grazie, giammaria. Avevo fatto un pò di confusione, ora ho capito. Essenzialmente era necessaria questa costruzione per sfruttare il teorema della bisettrice.