Calcolo integrale

[gabriella127]

@gugo, per favore, abbi pazienza, ho una esperienza didattica in queste cose di anni e anni, so quello che dico.
Per chi mi hai preso? Per una che si affretta a vanvera a dire la prima cosa che le viene in mente?
Mi offendi, non sai qual è stato il mio impegno e la mia fatica didattica negli anni.

Ripeto, non ci sono problemi interpretativi, è solo un testo di esercizio scritto in modo impreciso.
Basta conoscere la microeconomia per capirlo, sono argomenti standard, c'è poco da interpretare.
Lo sai il numero enorme di test del genere che ho preparato per esami all'università per anni?

Abbi pazienza, pensa all'ABC nelle tue cose

[gugo82]

@gugo, per favore, abbi pazienza, ho una esperienza didattica in queste cose di anni e anni, so quello che dico.
Per chi mi hai preso? Per una che si affretta a vanvera a dire la prima cosa che le viene in mente?
Mi offendi, non sai qual è stato il mio impegno e la mia fatica didattica negli anni.

Ripeto, non ci sono problemi interpretativi, è solo un testo di esercizio scritto in modo impreciso.
Basta conoscere la microeconomia per capirlo, sono argomenti standard, c'è poco da interpretare.
Lo sai il numero enorme di test del genere che ho preparato per esami all'università per anni?

Fa piacere sapere tu non l'abbia presa sul personale...

Se avessi voluto obiettare qualcosa sulla tua esperienza, sulle tue conoscenze o sulla tua risposta l'avrei fatto.

Abbi pazienza, pensa all'ABC nelle tue cose

Vediamo: siamo in una stanza di Secondaria II grado (cosa mia) alle prese con un problema di Analisi (cosa mia) in contesto¹, e proponevo un'osservazione sul comportamento da tenere in un forum cui partecipo da 16 anni (praticamente casa mia)... E dovrei aver pazienza io?

Ad ogni buon conto, il mio era un richiamo all'utenza in generale, ché in questi ultimi anni pare aver perso il rispetto dovuto a sé ed agli altri... La cosa "divertente" è che mi ritrovi a farlo io, che non sono più moderatore, ma semplice utente (per quanto senior).

---

Note

1. Ed è questo probabilmente il problema di fondo: l'estensore del problema o non conosce il contesto o, se lo conosce, ha tagliato le cose troppo con l'accetta (proponendo un problema "reale" che non ha alcun senso per mascherare un semplice problema di calcolo). Per chiarire questo punto chiedevo riferimenti. ↑

[gabriella127]

@gugo, rassegnati, è un problema di economia, non di analisi, è una domanda super-standard di economia sui vari tipi di costi. È quello il punto, bisogna sapere le varie definizioni di costi.
Perciò sono intervenuta, per mostrare che si trattava di economia e come andava impostato il problema, se era analisi non intervenivo.
L'ho fatto per aiutare l'OP, che se no rischiava di confondersi. Non per mio sfizio, non è che mi diverta troppo a ripetere queste cose che ho ripetuto per anni, ne ho fin sopra i capelli.
L'OP forse si è confuso pensando che doveva trovare in qualche modo la costante di integrazione, e pensava a chi sa quali problemi di analisi, ma non è così.

Chi ha scritto l'esercizio conosce benissimo il contesto, ha solo usato un esempio poco felice.
Non ti attaccare alle scatole di lampadine, è solo un esempio scelto male.
Mettiamo al posto delle scatole qualcosa di più divisibile, prosciutto, mozzarella, pizza al taglio, gattò di patate, ok?
Il costo di produzione di $6$ chili di gattò è 200, ok?
Tutt'apposto, al posto delle scatole discrete abbiamo il continuum archimedeo del gattò. Abbiamo risolto.


Ti invitavo solo ad avere l'umiltà di pensare che in materie che non sono le tue qualcuno forse ne sa di più di te, e forse ha impostato più correttamente la questione.

Non capisco il richiamo all'utenza in generale, non vedo chi e come abbia perso qui in questo thread il rispetto degli altri.
E le osservazioni sul comportamento da tenere in un forum non le fare a me, gentilmente.

[gio73]

@marco, tu sei laureato in economia e ogni tanto dai lezioni di matematica a ragazzi del liceo e primi anni università , giusto?

Questo esercizio lo hai preso per qualche lezione di liceo o si tratta di università?
Esiste una sezione specifica di matematica per l economia (moderata da Gabriella)

[gugo82]

Lo spirito di un'epoca è qualcosa a cui non possiamo tornare. Esso tende a dissolversi, perché si sta approssimando la fine del mondo.
Non può, in effetti, essere sempre primavera o estate, e ugualmente non può essere sempre giorno; quindi, se anche desiderassimo riportare il mondo allo spirito del secolo trascorso, ciò non sarebbe possibile. E' importante trarre il meglio da ogni generazione.
L'errore di chi ha nostalgia del passato sta nel fatto che non afferra questo principio.
Ma coloro che mostrano considerazione solo per la realtà attuale, ostentando disprezzo per il passato, appaiono molto superficiali.

Colpa mia, a volte dimentico i principi fondamentali e divento nostalgico.
Buona continuazione.

[gabriella127]

Ricapitolo e spiego meglio la questione, altrimenti il thread può risultare confusivo, per rispondere più chiaramente alla domanda di Marco.

Formalmente, certo che si tratta di trovare una costante di integrazione, ma in base a cosa?
Non c'è un metodo analitico 'puro', bisogna rifarsi alle nozioni di economia e alle definizioni dei vari tipi di costi.

Ripetendo, il costo totale $CT(x)$ è costituito dai costi fissi $F$ che non dipendono dalla quantità prodotta $x$ e i costi variabili, $CV(x)$ che sono la parte dei costi che dipende dalla quantità $x$.
Per definzione, il costo variabile di una quantità zero è zero, cioè la funzione di costo variabile parte dall'origine, poi sommando i costi fissi si ottiene il costo totale:

$$CT(x)=F+CV(x)\qquad (1)$$,
con $CV(0)=0$.

Si vede molto bene graficamente, si possono guardare delle tipiche funzioni di costo come quelle sotto:




Queste sono le tipiche funzioni di costo di forma 'ondulata', con un primo tratto con derivata (costo marginale) decrescente e un secondo tratto con derivata (costo marginale) crescente.

Ovviamente, costi totali e costi marginali hanno la stessa derivata, differiscono per la costante $F$ costi fissi.

Il costo marginale $CM (x)$, dato nel testo dell'esercizio, è

$CM(x)=10+x+x^2$

È, per definizione, la derivata sia del costo variabile che del costo totale.
Integrando e ponendo a zero la costante di integrazione (poiché i costi variabili partono dall'origine) si trova la funzione di costo variabile, che è:

$CV(x)=10x+1/2 x^2+ 1/3 x^3$.

Ora, per avere la funzione di costo totale, ci manca il valore dei costi fissi $F$.
Dalla $(1)$ e dai dati del problema, che ci dice che il costo totale per $x=6$, $CT(6)$, è $200$, ricaviamo il valore di $F$:

$CT(6)=F+10\cdot 6+1/2\cdot6^2+ 1/3 \cdot6^3=200$.

da cui ricaviamo $F=50$.

La funzione di costo totale è quindi:

$CT(x)=50+10x+1/2 x^2+ 1/3 x^3$.

[gugo82]

Detto in termini matematici, senza perdersi in lungaggini, hai:
\[
\left\{ \begin{split}
\operatorname{CT}^\prime (x) &= \operatorname{CM}(x) \\
\lim_{x \to 0^+} \operatorname{CT}(x) &= F
\end{split} \right.
\]
cioè il costo marginale è la derivata del costo (totale o variabile, poco importa) e il costo fisso è il costo che tendi a sostenere quando il prodotto tende a zero.
La soluzione di un problema del genere, sotto ipotesi abbastanza larghe su \(\operatorname{CM}(x)\) (che può essere una funzione anche piuttosto "brutta") è unica e continua ed è data da:
\[
\operatorname{CT}(x) = F + \int_0^x \operatorname{CM}(t)\ \text{d} t\; ;
\]
analogamente ragionando, si vede che in problemi del tipo:
\[
\left\{ \begin{split}
\operatorname{CT}^\prime (x) &= \operatorname{CM}(x) \\
\operatorname{CT}(x_0) &= c_0
\end{split} \right.
\]
la soluzione è:
\[
\operatorname{CT}(x) = c_0 + \int_{x_0}^x \operatorname{CM}(t)\ \text{d} t\; .
\]
Nei casi "d'ordinaria amministrazione" (come quello assegnato, in cui il costo marginale è polinomiale), la soluzione si può trovare con uno dei metodi proposti più sopra anziché usando la funzione integrale del costo marginale.

Ad ogni buon conto, questo approccio presuppone che la produzione sia una quantità continua, il che a rigore non è mai vero in nessun processo di interesse economico: infatti, in che tipo di situazione può essere prodotta una quantità $sqrt(2)$ di qualcosa?¹
Ciò rende impossibile parlare di derivate ed integrali nel senso usuale, poiché il significato e la correttezza di entrambe queste operazioni sono intimamente legati alla struttura continua dei numeri reali... Tuttavia il Calcolo è uno strumento troppo potente per rinunciare ad applicarlo, quindi nelle applicazioni abbiamo un problema da risolvere.
A questo problema si può ovviare in diversi modi, e quelli più usati sono essenzialmente due:

1. brutalmente, si finge che la variabile discreta sia un "campionamento" di una corrispondente variabile continua che segue le stesse leggi di costo ma nel continuo², in modo che sia effettivamente possibile parlare di integrali e derivate in senso usuale;
   
   
2. si usano variabili non intere (ad esempio la densità³, cioè una cosa tipo $x=("quantità prodotto")/("prodotto totale")$ quando il $"prodotto totale"$ è mooolto grande ), che hanno una struttura più simile a quella del continuo, perché esse possono essere anche molto prossime a $0$ senza che il modello perda totalmente di significato e rende possibile considerare incrementi che sono "mooolto piccoli", così da dare un senso abbastanza soddisfacente all'applicazione delle operazioni di derivazione ed integrazione (che -a conti fatti⁴- dipendono da un passaggio al limite rispetto ad incremento che tende a $0$).

Chiariti questi nodi didatticamente importanti (come facevamo notare ghira ed io qualche pagina fa), l'esercizio è una fesseria incredibile e si risolve come detto sopra.

---

Note

1. Uno potrebbe azzardare che ciò non è mai vero in alcun tipo di processo, neanche fisico o chimico... Ma meglio non addentrarsi nel discorso. ↑
2. Questo equivale a rimpiazzare brutalmente una variabile discreta intera con una variabile continua reale. ↑
3. Non so in economia come si può chiamare questa quantità, vedete un po' voi... Probabilmente, dato che è una percentuale avrà un nome sensato. ↑
4. Cosa buona e giusta, perché sempre di economia si tratta! ↑

[Noodles]

Basta conoscere la microeconomia per capirlo, sono argomenti standard, c'è poco da interpretare.

Concordo. Del resto, quando un esercizio deve essere svolto considerando discreta la quantità prodotta, il contratto didattico prevede che si assegni una tabella. Solo per fare un esempio:

Immagino tu intendessi dire semplicemente questo.

[gabriella127]

Va bene gugo, contento tu siamo contenti anche noi .

Ad ogni buon conto, questo approccio presuppone che la produzione sia una quantità continua, il che a rigore non è mai vero in nessun processo di interesse economico: infatti, in che tipo di situazione può essere prodotta

Si usano in queste cose variabili continue fin dall'800 (e anche prima, diciamo da sempre, se serve), e di quello che tu dici, che non è mai vero che le variabili sono continue in un processo economico, non gliene importa niente a nessuno e non è di nessuna rilevanza in economia.

L'economia non si occupa dei conti dell'impresa o della produzione di un numero discreto di caciotte, ma è fatta di modelli cioè 'astrazioni', che cercano di spiegare il funzionamento del sistema economico (le 'leggi', avrebbero detto in altri tempi.)
E come ben sai, la mappa non è il territorio, ai modelli non si chiede 'il realismo'.

Le tue sono osservazioni interessanti per un matematico, ma non per lo studio dell'economia, in particolare nel contesto della domanda dell'OP.
E non troverebbero mai posto e sarebbero solo dispersive e confusive in un esercizio di primo anno come questo.
Poi è anche interessante parlarne, ma appunto, è una cosa a parte, una interessante curiosità intellettuale a latere.


Certo che l'esercizio è semplice, è un esercizio iniziale di primo anno sulle definizioni, probabilmente nemmeno di una facoltà di economia, non si vince il premio Nobel se lo si risolve.
Ma è quello l'esercizio nel testo dell'OP, e va correttamente impostato se chi ha posto la domanda deve occuparsi di economia.
Sarà banale, ma non si può risolvere se non si sa cos'è il costo variabile, che parte dall'origine e simili 'sciocchezzuole'.
E a quello ho risposto, caso mai anche riguardasse un ragazzo che deve fare un esame e aspira a non essere bocciato, che stravaganza.
E lì è scontato che si parla di variabili continue, con buona pace delle scatole di lampadine.

Sappi che su queste cose, che a te sembrano sciocchezze (e lo sono qui in questo esercizio), in particolare sull'idea di 'qualcosa marginale', è stata costruita tutta la teoria della microeconomia (nell'800 dalla cosiddetta scuola marginalista + Walras + Pareto) e dell'equilibrio economico generale, che è una delle costruzioni scientifiche e intellettuali più importanti del secolo passato.

Quindi risparmiati il termine 'fesserie' quando parli di queste cose.

Se vuoi avere un'idea di cos'è davvero la microeconomia, vatti ad aprire qualche testo, e forse capiresti un minimo cos'è la teoria economica, che forse tu scambi per i conti della serva.

C'è una bibliografia sterminata, ma riferimenti standard e storici sono:

Per la Microecomia come manuale Mas Colell, Microecomic Theory.

Per l'equilibrio economico generale contemporaneo (parte della microeconomia) i riferimenti storici principali sono:

Debreu, Theory of value (1959)

Arrow-Hahn, General Competitive Analysis (1971)

Debreu e Arrow sono entrambi premi Nobel, qualcosa ci capiranno, (Debreu frequentava Bourbaki e a loro si è ispirato) e non mi risulta si siano mai posti il problema discreto-continuo nelle variabili economiche.
(Ha una rilevanza in macroeconomia, ma è tutt'altro discorso che non c'entra niente con il nostro).

"Ci sono più cose in cielo e in terra di quante ne comprenda la tua filosofia, o il tuo problema delle variabili discrete", direbbe il sommo.

[gabriella127]

Basta conoscere la microeconomia per capirlo, sono argomenti standard, c'è poco da interpretare.

Concordo. Del resto, quando un esercizio deve essere svolto considerando discreta la quantità prodotta, il contratto didattico prevede che si assegni una tabella.
.

Grazie Noodles.
Ma certo, ogni università e ogni professore poi ha le sue abitudini e convenzioni, ma è evidente che se ci sono esercizi nel discreto come quello presentato da Noodles viene specificato, a meno che il professore non sia uno scombinato pazzo.
Insomma, anche se non c'è un contratto didattico, ci sono norme base di chiarezza con cui devono essere formulate le domande e consuetudini scontate.