Trasformare una circonferenza in un'ellisse

[HowardRoark]

Devo passare da una circonferenza così descritta: $x^2 + (y+2)^2 = 9$ ad un'ellisse di equazione $(x-1)^2 + (y-1)^2/4 = 1$.

Secondo me, applicando un'opportuna dilatazione e una traslazione, una trasformazione corretta è del tipo: $x' = x/3 + 1$ e $y' = 2/3 y + 3$, mentre nel mio libro c'è scritto $x' = x/3 + 1$ e $y' = 2/3y + 7/3$. Credo di aver ragione io perché il centro dell'ellisse, dopo averla trasformata da una circonferenza con una dilatazione, trasla di un vettore di componenti $(1,3)$, però vorrei avere conferma da voi, non si sa mai.
Vi ringrazio in anticipo.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ne approfitto per augurare buone feste a tutti gli utenti del forum.

[sellacollesella]

Una prima trasformazione ci permette di ottenere la circonferenza unitaria: \[
\begin{cases}
x = 3X \\
y = 3Y - 2 \\
\end{cases}
\] quindi, una seconda trasformazione ci permette di ottenere l'ellisse richiesta: \[
\begin{cases}
X = x'-1 \\
Y = \frac{y'-1}{2} \\
\end{cases}.
\] Pertanto, si ottiene: \[
\begin{cases}
x = 3\left(x'-1\right) \\
y = 3\frac{y'-1}{2}-2
\end{cases}
\quad \quad \Rightarrow \quad \quad
\begin{cases}
x' = \frac{1}{3}x + 1 \\
y' = \frac{2}{3}y + \frac{7}{3} \\
\end{cases}
\] che è la trasformazione riportata sul libro come soluzione.

Qualora se ne sentisse il bisogno, basta verificare: \[
\small
x^2 + (y+2)^2 = 9
\quad \Rightarrow \quad
\left[3(x'-1)\right]^2 + \left(3\frac{y'-1}{2}-2+2\right)^2 = 9
\quad \Rightarrow \quad
\left(x'-1\right)^2 + \frac{(y'-1)^2}{4}=1
\] e questo toglie ogni dubbio sulla veridicità di tale trasformazione.

[HowardRoark]

Una prima trasformazione ci permette di ottenere la circonferenza unitaria: \[
\begin{cases}
x = 3X \\
y = 3Y - 2 \\
\end{cases}
\] quindi, una seconda trasformazione ci permette di ottenere l'ellisse richiesta: \[
\begin{cases}
X = x'-1 \\
Y = \frac{y'-1}{2} \\
\end{cases}.
\] Pertanto, si ottiene: \[
\begin{cases}
x = 3\left(x'-1\right) \\
y = 3\frac{y'-1}{2}-2
\end{cases}
\quad \quad \Rightarrow \quad \quad
\begin{cases}
x' = \frac{1}{3}x + 1 \\
y' = \frac{2}{3}y + \frac{7}{3} \\
\end{cases}
\] che è la trasformazione riportata sul libro come soluzione.

Qualora se ne sentisse il bisogno, basta verificare: \[
\small
x^2 + (y+2)^2 = 9
\quad \Rightarrow \quad
\left[3(x'-1)\right]^2 + \left(3\frac{y'-1}{2}-2+2\right)^2 = 9
\quad \Rightarrow \quad
\left(x'-1\right)^2 + \frac{(y'-1)^2}{4}=1
\] e questo toglie ogni dubbio sulla veridicità di tale trasformazione.

Credo che il mio errore sia stato quello di considerare la dilatazione con centro in $(0,0)$ quando ovviamente avrei dovuto considerare la dilatazione con centro $(0,-2)$, cioè con lo stesso centro della circonferenza da trasformare. Poi a me viene più naturale procedere come ho proceduto all'inizio: il raggio della circonferenza è 3, i semiassi maggiore (parallelo all'asse y) e minore dell'ellisse sono lunghi rispettivamente 2 ed 1, quindi devo "schiacciare" la circonferenza rispetto all'asse x trasformando la misura del raggio in 1 (riesco a farlo col coefficiente $1/3$) e rispetto all'asse y trasformando la misura del raggio in 2 (col coefficiente $2/3$). Capito questo basta applicare le equazioni della dilatazione in modo corretto e poi traslare la figura ottenuta.
Grazie mille comunque!

[sellacollesella]

Se sei più comodo a concatenare le trasformazioni elementari, allora occorre:

• traslare la circonferenza di un vettore \((0,2)\);
  
  
• contrarre la circonferenza di \(1/3\) lungo \(x\) e di \(2/3\) lungo \(y\);
  
  
• traslare l'ellisse così ottenuta di un vettore \((1,1)\);

da cui la trasformazione risultante: \[
\begin{cases}
x' = \frac{1}{3}(x+0)+1 = \frac{1}{3}x + 1 \\
y' = \frac{2}{3}(y+2)+1 = \frac{2}{3}y + \frac{7}{3} \\
\end{cases}
\] che, naturalmente, corrisponde a quanto sopra determinato.

[BayMax]

Ciao a tutti e buone feste (anche se in ritardo)!
Scusate se mi intrometto, posso chiedere @HowardRoark da quale testo è tratto l'esercizio del thread?

Grazie e, come sempre,

saluti

[HowardRoark]

Ciao a tutti e buone feste (anche se in ritardo)!
Scusate se mi intrometto, posso chiedere @HowardRoark da quale testo è tratto l'esercizio del thread?

Grazie e, come sempre,

saluti

E' un esempio tratto da un testo del liceo, "matematica in movimento" di Guidone, ho provato a svilupparlo io prima di leggerlo dal testo.