Equazione della tangente ad una conica centrata nell'origine

[HowardRoark]

Salve a tutti. Ho capito perché l'equazione della retta tangente alla conica in un punto $P(x_p, y_p)$ è $alphax*x_p + betay*y_p + gamma = 0$, ma questa formula continua a valere se cerco l'equazione della retta tangente in $(x_p, 0)$, quindi con $y_p = 0$?

Lo chiedo perché, ad un certo punto della dimostrazione dell'equazione della retta tangente, mi sono ritrovato a ricavarmi il coefficiente angolare della retta tg alla conica, che è $m=-(alpha * x_p)/(beta * y_p)$, ma ovviamente una retta del genere non individua una retta parallela all'asse y.
Quindi, come dimostrare la validità della formula anche per $y_p = 0$?

[giammaria]

Salve a tutti. Ho capito perché l'equazione della retta tangente alla conica in un punto $P(x_p, y_p)$ è $alphax*x_p + betay*y_p + gamma = 0$, ma questa formula continua a valere se cerco l'equazione della retta tangente in $(x_p, 0)$, quindi con $y_p = 0$?

Io invece non capisco a cosa ti stai riferendo e cosa siano $alpha, beta$. Suppongo che si tratti del metodo dello sdoppiamento, ed in tal caso la regola è la seguente:
Se $P(x_0,y_0)$ è un punto di una conica qualsiasi, di equazione
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
allora lìequazione della tangente in P è
$ax_0x+b/2(x_0y+y_0x)+cy_0y+d/2(x+x_0)+e/2(y+y_0)+f=0$
e questa regola vale per qualsiasi pinto P della conica e per qualsiasi conica.
Credo quindi che la regola a cui ti riferisci valga comunque. Forse in quel caso la dimostrazione data dal tuo libro non è valida, ma allora è solo perché nella dimostrazione avrebbero dovuto aggiungere "Nel tal caso particolare, la formula si domostra così: ..."

[HowardRoark]

Nella dimostrazione c'è scritto che vale anche per le rette verticali ma non ho capito benissimo il procedimento attraverso cui dimostra quest'ultima cosa. Comunque non voglio perdermi troppo in sottigliezze, ho troppe cose da ripassare e mi accontento di aver capito la dimostrazione senza questo caso particolare.
Grazie mille comunque!