Un dubbio sulla retta tangente ad un'iperbole

[HowardRoark]

Devo trovare la retta tangente all'iperbole di equazione $x^2 -x-2y^2-3y=1$ nel suo punto $P$ di ordinata 1 e ascissa positiva.

Il punto $P$ in questione è ovviamente $P(3,1)$. Il problema è abbastanza facile se metto a sistema l'equazione dell'iperbole con quella del fascio di rette passanti per $(3,1)$: per ricavarmi il coefficiente angolare della retta posso mettere come condizione che $x=3$ sia l'unica soluzione del sistema (perché per ipotesi la retta è tangente) e fattorizzando si trova $m$.

$\{(x^2-x-2y-3y=1), (y=m(x-3)+1):}$.

Trovo come soluzione la retta $y=5/7x - 8/7$.

Ora, però, io speravo di applicare la formula di sdoppiamento per trovare l'equazione della retta e, poiché questa vale se il centro dell'iperbole è l'origine degli assi, traslarla dello stesso vettore dell'iperbole del problema.
Quindi, riscrivo l'iperbole in modo da riconoscerne la traslazione: $(x-1/2)^2/(1/8)-(y+3/4)^2/(1/16)=1$. L'iperbole è stata traslata, dall'origine, di un vettore $v(1/2; -3/4)$.
Applicando la formula di sdoppiamento all'iperbole centrata nell'origine: $(x*x_p)/a^2 - (y*y_p)/b^2 = 1$ ottengo $y=3/2x-1/16$ e già qua capisco che c'è qualcosa che non va, perché la traslazione mantiene il coefficiente angolare e quindi anche se traslassi questa retta non otterrei mai $y=5/7x-8/7$.
Qualcuno mi saprebbe spiegare il perché?

[HowardRoark]

Mi sono reso conto che se considero $x^2/(1/8) - y^2/(1/16) = 1$ cambia proprio il coordinata di tangenza $x_p$, dato $y_p =1$. Se prendo il punto con ascissa positiva, dato $y_p=1$, ottengo $x_p=sqrt(34)/4$, e quindi avrei applicato male la formula di sdoppiamento dell'iperbole (perché l'ho applicata considerando sempre $P(3,1)$ come punto di tangenza quando $x_p$, in quest'ultimo caso, è dato dal valore che ho appena ottenuto.
Nel dubbio continuerò ad applicare la formula di sdoppiamento solo per iperboli con centro in $(0,0)$ e negli altri casi farò il sistema come ho fatto in questo esercizio.

[giammaria]

... io speravo di applicare la formula di sdoppiamento per trovare l'equazione della retta e, poiché questa vale se il centro dell'iperbole è l'origine degli assi ...

Forse tu hai studiato solo un caso particolare della formula dello sdoppiamento; la regola generale vale dovunque sia il centro e nel tuo caso dà
$x_0x-1/2(x+x_0)-2y_0y-3/2(y+y_0)=1$
che, a conti fatti, dà lo stesso risultato che hai ottenuto col metodo del $Delta=0$.
E' quindi inutile pensare a traslazioni, ma se proprio vuoi farlo, per l'iperbole
$(x-alpha)^2/a^2-(y-beta)^2/b^2=1$
lo sdoppiamento dà $((x-alpha)(x_0-alpha))/a^2-((y-beta)(y_0-beta))/b^2=1$
ed il risultato non cambia.

[HowardRoark]

... io speravo di applicare la formula di sdoppiamento per trovare l'equazione della retta e, poiché questa vale se il centro dell'iperbole è l'origine degli assi ...

Forse tu hai studiato solo un caso particolare della formula dello sdoppiamento; la regola generale vale dovunque sia il centro e nel tuo caso dà
$x_0x-1/2(x+x_0)-2y_0y-3/2(y+y_0)=1$
che, a conti fatti, dà lo stesso risultato che hai ottenuto col metodo del $Delta=0$.
E' quindi inutile pensare a traslazioni, ma se proprio vuoi farlo, per l'iperbole
$(x-alpha)^2/a^2-(y-beta)^2/b^2=1$
lo sdoppiamento dà $((x-alpha)(x_0-alpha))/a^2-((y-beta)(y_0-beta))/b^2=1$
ed il risultato non cambia.

In effetti ho studiato solo il caso di una conica con centro nell'origine, ma volevo vedere se applicando la formula di sdoppiamento alla conica del problema ma centrata nell'origine, e poi traslare la retta ottenuta dello stesso vettore con cui è stata traslata la conica, riuscissi a determinare ancora la retta tangente.
Mi sono reso conto che il mio ragionamento era sbagliato, ma sono contento mi sia venuto il dubbio, almeno in futuro non cadrò in questo errore.

[giammaria]

Hai fatto benissimo a provare: è il modo migliore per avere idee ben chiare. Non hai però tenuto presente che nella traslazione cambiano anche le coordinate di P; avresti dovuto usare le sue coordinate traslate e tutto sarebbe andato bene. Si tratta però di un metodo lungo e quindi sconsigliabile, se non appunto per togliersi una curiosità. Ed anche il metodo dell'annullarsi del discriminante è lungo: quando si conosce il punto di tangenza, lo sdoppiamento è la cosa migliore.
Alcune tue frasi precedenti mi fanno però sospettare che tu abbia delle incertezze sullo sdoppiamento: ti è chiara la mia prima formula dell'altro post? In caso contrario, ti conviene dirlo e te la spiegherò.

[HowardRoark]

Hai fatto benissimo a provare: è il modo migliore per avere idee ben chiare. Non hai però tenuto presente che nella traslazione cambiano anche le coordinate di P; avresti dovuto usare le sue coordinate traslate e tutto sarebbe andato bene. Si tratta però di un metodo lungo e quindi sconsigliabile, se non appunto per togliersi una curiosità. Ed anche il metodo dell'annullarsi del discriminante è lungo: quando si conosce il punto di tangenza, lo sdoppiamento è la cosa migliore.
Alcune tue frasi precedenti mi fanno però sospettare che tu abbia delle incertezze sullo sdoppiamento: ti è chiara la mia prima formula dell'altro post? In caso contrario, ti conviene dirlo e te la spiegherò.

Quindi se applico la formula di sdoppiamento a $x^2/(1/8)-y^2/(1/16)=1$ in $P(sqrt(34)/4; 1)$ e poi traslo la retta ottenuta di $(1/2; -3/4)$ ottengo la retta tangente che cerco?
La formula di sdoppiamento io l'ho ricavata considerando l'equazione di una generica conica centrata nell'origine $alpha*x^2 + beta * y^2 + gamma = 0$ (se parliamo di iperbole $alpha = 1/a^2, beta = -1/b^2 e gamma = -1$. Siccome passa per $P(x_p; y_p)$ per ipotesi, ho sostituito le coordinate di $P$ all'equazione della generica conica e poi l'ho messa a sistema col fascio di rette passanti per $P(x_p; y_p)$, cioè $y-y_p = m(x-x_p)$. Siccome la retta che cerco è tangente alla conica, $x_p$ deve essere l'unica soluzione del sistema, e con questo presupposto mi sono ricavato $m$ e sono arrivato a $y-y_p = -(alpha * x_p)/(beta * y_p) *(x-x_p)$. Qui ho fatto, poi basta fare i conti e sostituire $alpha$ e $beta$ con i parametri che conosciamo e la formula è trovata.
L'ipotesi è ovviamente che la conica sia centrata nell'origine, quindi se è traslata non la posso applicare direttamente e trovo il metodo di mettere a sistema e di porre il discriminante nullo più facile da applicare.

[HowardRoark]

Poi, pensavo, alla fine per trovare l'equazione di una retta tangente ad una funzione posso anche usare le derivate (chiaramente ellissi e iperboli non sono funzioni, a meno che non ci riferiamo ad iperboli equilatere riferite agli asintoti), quindi la formula l'ho studiata ma non penso sia una cosa fondamentale da un punto di vista globale. Se parliamo di circonferenze e devo trovare l'equazione di una retta tangente alla circonferenza in $P$, posso sfruttare il fatto che il raggio è perpendicolare alla retta, e quindi, se conosco l'equazione del raggio, ricavare l'equazione della retta è facile. Oltre la formula di sdoppiamento e il sistema ce ne possono essere altri di modi per ricavare una tangente...

[giammaria]

Tre cose, ben distinte fra loro:
1) Quando rispondi, evita di riportare l'intero messaggio precedente: appesantisce la lettura e non serve a niente. Clicca pure su CITA, ma poi cancella tutto quello che non è indispensabile.

2) Hai fatto la traslazione
${(X=x-1/2),(Y=y+3/4):}$
e quindi le coordinate traslate di P sono $X_0=3-1/2=5/2; Y_0=1+3/4=7/4$

3) Il metodo dello sdoppiamento funziona così: si comincia scrivendo l'equazione della conica in modo che in ogni addendo ogni lettera compaia due volte (zero volte nel temine noto): i quadrati diventano prodotti e gli altri termini diventano somme. dimezzando il coefficiente. La nostra conica, che era $x^2 -x-2y^2-3y=1$, viene quindi scritta come
$x*x-1/2(x+x)-2y*y-3/2(y+y)=1$
Poi, per ogni coppia di lettere uguali, ne lasci una invariata e metti l'indice 0 all'altra; ottieni
$x_0*x-1/2(x+x_0)-2y_0*y-3/2(y+y_0)=1$
Basta ora sostituire i valori noti di $x_0.y_0$ e completare i calcoli. La dimostrazione è piuttosto linga e di solito non viene data; qualche anno fa ne avevo scritta una di mia invenzione e se vuoi puoi trovarla in questo sito e questa sezione. Ma non te lo consiglio: è lunga e brutta, anche se non difficile.

[HowardRoark]

2) Hai fatto la traslazione
${(X=x-1/2),(Y=y+3/4):}$
e quindi le coordinate traslate di P sono $X_0=3-1/2=5/2; Y_0=1+3/4=7/4$

Giusto. Ho scritto $P(sqrt(34)/4; 1)$ perché volevo che l'iperbole $x^2/(1/8) - y^2/(1/16)=1$ fosse tangente alla retta nel punto $(x_p; 1)$, con $x_P>0$, però ovviamente trasla anche l'ordinata $1$ e quindi ho sbagliato anche questo passaggio.

3) Il metodo dello sdoppiamento funziona così: si comincia scrivendo l'equazione della conica in modo che in ogni addendo ogni lettera compaia due volte (zero volte nel temine noto): i quadrati diventano prodotti e gli altri termini diventano somme. dimezzando il coefficiente. La nostra conica, che era $x^2 -x-2y^2-3y=1$, viene quindi scritta come
$x*x-1/2(x+x)-2y*y-3/2(y+y)=1$
Poi, per ogni coppia di lettere uguali, ne lasci una invariata e metti l'indice 0 all'altra; ottieni
$x_0*x-1/2(x+x_0)-2y_0*y-3/2(y+y_0)=1$

Ma io per una conica centrata nell'origine l'ho dimostrata. Comunque ti ringrazio per la spiegazione, ora ho capito meglio perché si chiama "formula di sdoppiamento", il mio libro la chiama semplicemente formula della retta tangente ad una conica o una cosa del genere.

[giammaria]

La formula di sdoppiamento io l'ho ricavata considerando l'equazione di una generica conica centrata nell'origine.

Complimenti! Però è un caso particolare, ed hai appena constatato che ricondursi ad esso non è né breve né privo di pericoli; inoltre non sarebbe possibile per una parabola, che non ha centro.