probabilità di pescare una determinata carta

[WeP]

Immaginiamo di avere un mazzo composto da 60 carte con $n$ copie di una determinata carta.

Immaginiamo di pescare 7 carte dal mazzo e vogliamo trovare la probabilità di aver trovato almeno una copia della carta in questione.

$P(A) = n/60$ è la probabilità di pescare la carta
$1-P(A)$ è la probabilità di non pescarla
$(1-P(A))^7$ è la probabilità di non pescarla in 7 tentativi
$1-(1-P(A))^7$ è la probabilità di pescarla in 7 tentativi

Immaginiamo adesso che SE non abbiamo pescato la carta di interesse possiamo pescare nuovamente altre 7 carte dal mazzo senza rimescolare le precedenti 7.

A questo punto come dovrei calcolare la probabilità finale di aver trovato la carta in questione?

E' semplicemente $1-(1-P(A))^14$?

[ghira]

Immaginiamo di avere un mazzo composto da 60 carte con $n$ copie di una determinata carta.

Immaginiamo di pescare 7 carte dal mazzo

Con o senza rimpiazzo? Dai tuoi calcoli, con, ma ho l'impressione che intendi, in realtà, senza.

[WeP]

Le prime 7 carte vanno pescate senza rimetterle nel mazzo.

Le successive 7 vanno pescate sempre senza rimpiazzo ma su un nuovo campione che parte da 53 carte invece che da 60

[ghira]

Le prime 7 carte vanno pescate senza rimetterle nel mazzo.

Allora i tuoi calcoli sono sbagliati.

[HowardRoark]

Dalle mie limitate conoscenze di statistica, puoi approssimare il risultato con una binomiale (anche se non è una buona approssimazione, siccome parliamo di 60 carte e se ne peschi una la probabilità di pescare la carta di tuo interesse nelle restanti 59 potrebbe essere relativamente alta).
La binomiale ipotizza che tu ogni volta che peschi una carta, la reimmetti dentro il mazzo, e quindi $N=60$ non cambia mai. Indico con $p$ la probabilità di avere un successo
Allora, la binomiale in questione può essere descritta con Bin(7; p).
$X=$ numero di successi in 7 prove.

$P(X>=1)=((7,1))p^1(1-p)^(7-1) + ((7,2))p^2(1-p)^(7-2)+...+((7,7))p^7(1-p)^(7-7)$.
Ricordo che la binomiale ha questa forma:

$P(X=x) = ((n,x)) p^x(1-p)^(n-x)$ $x=0,1,...n$. Dove $n$ rappresenta il numero di prove (nel tuo caso 7) e $x$ (piccolo) indica il numero preciso di successi (che ovviamente va da 0 ad n).

Considera che è solo un'approssimazione, sicuramente il risultato che ti verrà con la binomiale sottostimerà questa probabilità (perché, ripeto, presupposto della binomiale è che le prove si facciano in maniera indipendente, e quindi il campione complessivo non si modifica, rimane sempre 60. Se invece non reimmetti le carte, è chiaro che su un sample sempre più piccolo la probabilità di pescare la carta desiderata aumenta).

Ps: quel $((7,1))$, $(7,2)$ etc. sono dei coefficienti binomiali, li ho rappresentati così perché non so come rappresentarli correttamente sul forum.

[ghira]

Le prime 7 carte vanno pescate senza rimetterle nel mazzo.

$1-(60-n)/60 * (59-n)/59 * (58-n)/58 * (57-n)/57 * (56-n)/56 * (55-n)/55 * (54-n)/54$

Le successive 7 vanno pescate sempre senza rimpiazzo ma su un nuovo campione che parte da 53 carte invece che da 60

Vedrai come fare a questo punto, immagino.