Cambio coordinate cartesiane

[castro]

Ciao a tutti. Volevo chiedervi un aiuto su un cambio sdr come in figura.

Ahimé mi sono accorto in ritardo di aver postato nella sezione universitaria mentre io sono al liceo. Sebbene la spiegazione ricevuta di là l'abbia capita impegnandomi un po', mi piacerebbe avere una visione a livello "liceo scientifico" e capire se quanto dico ha senso. Spero di non dar troppo disturbo aprendo ora nella sezione più corretta e mi scuso.

voglio passare da x,y ->x'y' e credo di incasinarmi con i segni

Mi spiego:

Se io volessi legare la coordinata x e x' di D in O e O' farei questo ragionamento:

se a è la distanza nel riferimento $O$ tra O e O'
1) prendo $y'$ coordinata in $O'$ di D e notando che $y'>0$ scrivo $y'=-x-a$ ove $x$ è la coordinata di $D$ in $O$. Però notando che $x<0$ scrivo $-x$ (così è positiva), l'idea che ho è come come se avessi la componente del "vettore" $vecx$ nella base O e poi metto il meno per portarmi nella coordinata del vettore x in O'.
Il ragionamento del - davanti ad a è identico perché era assunta come coordinate nel sistema O, quindi nelle coordinate di O' $veca$ avrà componenti negative in valore: aggiungo il meno davanti e passo da O a O'.

2) invertendo la relazione ho che $x=-y'-a$ e sembra tornare perché qui invece ho $x$ (che ricordo essere negativa) uguale a $-y'$ ed è giusto perché $y'$ è positivo come valore (e infatti era dato in $O'$ dalla (1) ) e con il meno davanti che ho qui lo" trasformo" nel valore negativo che ha rispetto al riferimento $O$.
Anche $-a$ è negativa e mi pare la somma mi porti proprio a trovare il segmento $x$ voluto.
Quindi invertire 1) in 2) mantiene coerenza dei risultati con i vari meno davanti al posto giusto.

Tuttavia mi incasino un po' con questo ragionamento seguente:

se a è invece la distanza nel riferimento $O'$ tra O' e O (ora sarà positiva e quindi:)
1') $y'=-x+a$

da cui

2') $x=-y'+a$ e qui non mi torna tanto perchè ho $x$ che è la coordinata di D in O ed è ok, poi ho $-y'$ coordinata di D rispetto a O' ma trasformata in coordinata in O dato che ho il meno davanti. Però mi rimane $+a$ e questa è la coordinata di O rispetto a O' ma in O'! Non mantiene la coerenza. Mi sarei aspettato un legame su "a" che che sia però nel riferimento O e invece sono con +a ancora in O'!! Però così facendo sommo $-y'$ componente nel sdr O e poi $+a$ che è ancora la distanza nel sdr in O', mi aspetterei un $-a$


Vorrei chiedere due cose:
A) i ragionamenti fatti sono secondo voi giusti? Nel caso potreste gentilmente aiutarmi a correggerli?
B) come risolvo il dubbio sollevato in (2')?

Grazie mille per l'aiuto!

[DavidGnomo]

Proviamo.

Iniziamo con un esempio dando per scontato, dal disegno, che vuoi ruotare il sistema di 90° in senso antiorario.
Abbiamo nel nostro Sdr xOy il punto $A(4,7)$.
Se provi a ruotarlo mentalmente o con un disegno su carta potrai vedere che:
1. La parte di asse positivo $y$ del sistema originario diventa la parte negativa del nuovo sistema.
2. La parte di asse positiva $x$ del sistema originario resta positiva.
Riassumento, un generico punto $(x,y)$ diventa $(-y,x)$.
Per cui il nostro punto $A(4,7)$ sul nuovo piano ruotato diventa il nuovo punto $A'(-7, 4)$

Per quanto riguarda la traslazione riprendiamo il nostro piano originale con il punto $A(4,7)$.
Sappiamo che il un punto nel nostro piano cartesiano non è altro che la distanza delle coordinate del punto dall'origine del sistema di riferimento.
Detto questo, avendo un generico punto $A(x,y)$ una volta traslata l'origine in un nuovo punto $(j,k)$ non dobbiamo far altro che trovare le nuove distanze del punto $A$ rispetto alla nuova origine calcolando il nuovo punto come $A'(x-j, y-k)$.
Tornando al nostro esempio, se trasliamo l'origine solo orizzontalmente (come dal tuo disegno) al nuovo punto $(-4, 0)$ avremo $A'(4+4, 7-0)=(8,7)$

Ora prova tu a mettere insieme le due cose. Se non sono stato chiaro fammi sapere

[castro]

Grazie per la risposta.

MI è chiaro se compongo la traslazione e poi dopo la rotazione.

Tuttavia mi incespico facendo prima la rotazione e poi la traslazione, perché in questo caso se ruoto mi ritrovo le x nelle y' e le y nelle x' e quindi quando vado a fare il ragionamento sulla traslazione non mi funziona più il ragionamento:

Detto questo, avendo un generico punto A(x,y) una volta traslata l'origine in un nuovo punto (j,k) non dobbiamo far altro che trovare le nuove distanze del punto A rispetto alla nuova origine calcolando il nuovo punto come A'(x−j,y−k)

Perché il vettore traslazione che funziona nel tuo ragionamento esposto funziona se svolto tra due sdr non ruotati, se prima ruoto => quella traslazione non va più bene e mi incasino.

IN questo caso come dovrei fare?

[castro]

NOn so se sono stato molto chiaro per questo provo con l'esempio numerico.

noi abbiamo A(4,7) è evidente quindi che il vettore di traslazione in O è (-4,0). A questo punto scrivo $A'(4-(-4),7-0)=(8,7)$ ora ruoto: $A''(7,-8)$

Bene

Se però prima ruoto: $A(4,7) => A'(7,-4)$ ed è evidente che ora non posso usare la sottrazione con il vettore traslazione: $(-4,0)$ visto in O. (cioè la seconda parte del tuo ragionamento in risposta)
Mi vereebe da dire che devo usare il vettore traslazione $(0,-4)$ visto in O' (in sostanza questa è la distanza tra O' e O ma vista in O', oppure se prendessi la distanza O e O' ma vista in O' avrei (0,4) dato che il vettore è equiverso a y'). Ora sommo questo con le reciproche componenti si A' e trovo $A''(7,-4+(-4))$ voluto.

Ti torna? O dico baggianate

Questo è l'esempio specifico ma il dubbio generico è ben esposto nel post prima.

[DavidGnomo]

NOn so se sono stato molto chiaro per questo provo con l'esempio numerico.

noi abbiamo A(4,7) è evidente quindi che il vettore di traslazione in O è (-4,0). A questo punto scrivo $A'(4-(-4),7-0)=(8,7)$ ora ruoto: $A''(7,-8)$

Se parti da $A(4,7)$ e trasli $O$ nel nuovo punto $(-4,0)$ avrai $A'(4+4, 7)$ da cui $A'(8,7)$
Poi ruotando di 90° in senso antiorario avrai $A''(-7,8)$.

Bene

Se però prima ruoto: $A(4,7) => A'(7,-4)$ ed è evidente che ora non posso usare la sottrazione con il vettore traslazione: $(-4,0)$ visto in O. (cioè la seconda parte del tuo ragionamento in risposta)
Mi vereebe da dire che devo usare il vettore traslazione $(0,-4)$ visto in O' (in sostanza questa è la distanza tra O' e O ma vista in O', oppure se prendessi la distanza O e O' ma vista in O' avrei (0,4) dato che il vettore è equiverso a y'). Ora sommo questo con le reciproche componenti si A' e trovo $A''(7,-4+(-4))$ voluto.

Ti torna? O dico baggianate

Questo è l'esempio specifico ma il dubbio generico è ben esposto nel post prima.

In genere sono due trasformazioni che, applicate nell'ordine, non sono commutative. Quindi non otterrai lo stesso risultato se applichi prima una traslazione seguita da una rotazione e viceversa.