Devo dimostrare che i centri delle varie circonferenze ottenibili considerando il fascio $x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2 + a'x+b'y+c')=0$ giacciono tutti su una stessa retta e che l'asse radicale è perpendicolare a tale retta.
Io ho proceduto così, ma non sono troppo convinto riguardo la prima parte della dimostrazione (che i centri delle circonferenze di un fascio sono allineati).
Riscrivo l'equazione di un fascio così: $x^2+y^2+(a+ka')/(k+1)x + (b+kb')/(k+1)y+(c+kc')/(k+1)=0$.
Le coordinate del centro di una generica circonferenza individuata dal fascio sono $C(-(a+ka')/(2(k+1)); - (b+kb')/(2(k+1)))$.
Da qui posso subito dedurre che tutti questi centri siano allineati? Perché io ho considerato un esempio numerico, ponendo prima $k=1$, poi $k=2$, avendo quindi le seguenti coordinate del centro: $C_1(-(a+a')/4; -(b+b')/4), C_2 (-(a+2a')/6; -(b+2b')/6)$, poi ho considerato la retta che passa per tali centri e dopo estenuanti calcoli sono arrivato alla seguente:
$y= (b-b')/(a-a')x + (a'b-ab')/(2(a-a'))$.
Da qui poi far vedere che l'asse radicale è perpendicolare a questa retta è una sciocchezza; tuttavia, le cose che mi lasciano perplesso di questa dimostrazione sono 2:
1) Io ho considerato solo due centri, ho trovato l'equazione della retta passante per essi e ho mostrato che è perpendicolare all'asse radicale, ma dovrei dimostrare che vale per ogni centro che posso considerare del fascio.
2) Qualcosa mi dice che avrei potuto rendermene conto subito dopo aver determinato le coordinate del centro del fascio, però non sono sicuro né che sia vero né come avrei potuto capirlo senza fare esempi.