Sto studiando le coniche e vorrei avere una conferma su un passaggio algebrico, giusto per essere sicuro di aver fatto tutto bene.
Da $(d(P,F))/(d(P,r))=e$, dove $F$ è il fuoco, $e$ l'eccentricità e $r$ la direttrice, e introducendo un sistema di riferimento con fuoco nell'origine e $r: x=d$, arrivo alla seguente:
$(1-e^2)x^2+2e^2dx+y^2-e^2d^2=0$.
Ora, voglio provare che posso scrivere un'iperbole (con asse trasverso parallelo all'asse y) attraverso il metodo del completamento del quadrato.
Supponendo $e>1$, considero quindi:
$(1-e^2)x^2+2e^2dx+(e^4)/(1-e^2)d^2+y^2= (e^2d^2)/(1-e^2)$ (ho semplicemente aggiunto $e^4/(1-e^2)d^2$ ad ambo i membri e fatto qualche passaggio algebrico).
Con le mie ipotesi, $(1-e^2)<0$, e quindi non posso passare subito all'estrazione di radice; pertanto, io riscriverei l'equazione così:
$-(sqrt(e^2-1)x - (e^2*d)/sqrt(e^2-1))^2 + y^2 = (e^2d^2)/(1-e^2)$,
e questa mi sembra l'equazione di un'iperbole traslata.
Potreste confermarmi che i passaggi sono corretti?
Grazie in anticipo.