Dubbio su una trasformazione geometrica

[HowardRoark]

L'equazione di partenza è la seguente: $x^2-2xy+y^2+3x+3y=0 => (x-y)^2+3(x+y)=0$. Secondo il mio libro, la trasformazione $T: \{ (x'=x-y), (y'=x+y) :}$, che trasforma la conica in $y'=-1/3x'^2$, può essere ottenuta applicando la composizione della rotazione in senso antiorario di 45°: $\{(x'=1/sqrt(2)x-1/sqrt(2)y), (y'=1/sqrt(2)x+1/sqrt(2)y) :}$, con la dilatazione $\{(x'=sqrt(2)x), (y'=sqrt(2)y) :}$.
Però a me il risultato non viene: applicando prima la dilatazione e poi la rotazione mi risulta che la trasformazione finale sia ${(x'=1/2x-1/2y), (y'=1/2x+1/2y) :}$. Ho provato a fare anche la composizione opposta per capire se il libro intendeva quella ma i conti non tornano lo stesso. C'è un errore del libro o sto sbagliando qualcosa?

[HowardRoark]

Ad occhio mi sembra che nella prima trasformazione, affinché il risultato coincida con quello del libro, dovrebbe essere $x=sqrt(2)x'$ e $y=sqrt(2)y'$, però magari sto sbagliando qualcosa io.

EDIT. Forse ho capito: la composizione di trasformazioni opera come la composizione di funzioni (in effetti le trasformazioni sono funzioni), e quindi la rotazione devo applicarla ad $x'$ e $y'$ mentre io la stavo applicando ad $x$ e $y$. Mi sono confuso perché di solito quando applico una trasformazione mi esplicito la $x$ e la $y$ in funzione, rispettivamente, di $x'$ e $y'$, per poi sostituire le prime variabili con queste ultime nella formula. Ad esempio se devo traslare $y=x^2$ con la seguente traslazione: $T: \{(x'=x+1), (y'=y+3) :}$, ricavo semplicemente $\{(x=x'-1), (y=y'-3) :}$, quindi la parabola traslata è $y'-3= (x'-1)^2$.
Qui stavo facendo la stessa cosa ricavandomi $x$ ed $y$ e poi sostituendoli nella rotazione.