Trasformazioni inverse

[HowardRoark]

Stavo ancora riflettendo sulla composizione di trasformazioni, e vorrei riuscire ad interpretare un risultato che ho ottenuto applicando l'inversa ad una rotazione $R_(+45°)$ (ottenendo quindi $R'_(-45°)$), prima con le equazioni del libro e poi ricavandomi l'inversa manualmente, attraverso la prima rotazione ($R_(+45°)$).

Dal libro leggo che l'inversa di $R_(+45°): \{(x'=1/sqrt(2)x-1/sqrt(2)y), (y'=1/sqrt(2)x+1/sqrt(2)y) :}$ è $R_(-45°): \{(x'=1/sqrt(2)x + 1/sqrt(2)y), (y'=-1/sqrt(2)x+1/sqrt(2)y) :}$ e, in effetti, componendole ottengo: $\{(x''=x), (y''=y) :}$, come mi aspettavo.

Però, se ricavo l'inversa di $R_(+45°)$ attraverso le sue equazioni, ottengo: $(R_(+45°))^-1 = R_(-45°): \{(x'=sqrt(2)x+y), (y'=sqrt(2)y-x) :}$, che infatti composta con la prima rotazione dà ancora $\{(x''=x), (y''=y) :}$.

Se confronto queste due equazioni, ad esempio quelle relative ad $x'$: $ sqrt(2)x+y=1/sqrt(2)x+1/sqrt(2)y => sqrt(2)x-1/sqrt(2)x = 1/sqrt(2)y-y => x = y - sqrt(2)y$, come dovrei interpretare questo risultato? Siccome non ho ottenuto un'identità (qualcosa di verificato per ogni $x$ ed $y$), io interpreterei questo risultato pensando che l'inversa di una trasformazione geometrica non è unica. Voi cosa ne pensate?

[ghira]

$(R_(+45°))^-1 = R_(-45°): \{(x'=sqrt(2)x+y), (y'=sqrt(2)y-x) :}$

E questo dove manda $(1,0)$ e $(0,1)$ ?

[HowardRoark]

$(R_(+45°))^-1 = R_(-45°): \{(x'=sqrt(2)x+y), (y'=sqrt(2)y-x) :}$

E questo dove manda $(1,0)$ e $(0,1)$ ?

$(1,0)->(sqrt(2),-1)$ e $(0,1)->(1,sqrt(2))$. C'è qualcosa che non quadra perché in una rotazione le distanze si conservano e questo non mi sembra il caso. Dov'è l'errore? L'inversa di una trasformazione non si ricava come ho fatto io?

[HowardRoark]

Comunque, l'inversa di una traslazione credo di poterla sempre ottenere come ho fatto qui con la rotazione. Ad esempio, l'inversa di $t:\{(x'=2x-1), (y'=-1/2y+4) :}$ è $t^-1:\{(x'=(x+1)/2),(y'=-2y+8) :}$, ottenuta semplicemente ricavando $x$ ed $y$ in funzione di $x'$ ed $y'$ e invertendo gli apici.
In realtà quella del mio esempio è una composizione di una dilatazione con una traslazione, ma ovviamente la cosa vale anche per le traslazioni pure.
Non ho ben capito perché questa cosa non funzioni per una rotazione, dato che da quello che ricordo l'inversa di una funzione l'ho sempre ricavata col metodo che ho illustrato qui, però sapere che questo mio metodo non è valido in generale mi sembra una cosa fondamentale da tenere a mente.
Se qualcuno vuole spiegarmi meglio questa faccenda glie ne sarò grato

[giammaria]

Non ho ben capito perché questa cosa non funzioni per una rotazione, ...

Semplicemente perché hai sbagliato qualche calcolo; non so quale perché non li riporti. Ti consiglio di rifarli tutti, per scritto e con calma: probabilmente l'errore ti balzerà agli occhi. In caso contrario è evidente che continui a ripeterlo, ed allora ti conviene postare molti dei tuoi passaggi, in modo che si possa vedere cos'è che non va.
Consiglio di iniziare sommando e sottraendo le due equazioni, ma scegli tu il metodo che più ti convince: in assenza di errori, la conclusione non cambia.

[HowardRoark]

Non ho ben capito perché questa cosa non funzioni per una rotazione, ...

Semplicemente perché hai sbagliato qualche calcolo; non so quale perché non li riporti.

Le equazioni di una rotazione in senso antiorario di 45°sono queste:

${(x'=1/sqrt(2)x - 1/sqrt(2)y), (y'= 1/sqrt(2)x + 1/sqrt(2)y) :}$.

Ricavo $x$ ed $y$ in funzione di $x'$ e $y'$:

${(1/sqrt(2)x=x'+1/sqrt(2)y=>x=sqrt(2)x'+y), (1/sqrt(2)y= y'-1/sqrt(2)x=>y=sqrt(2)y' -x) :}$

Invertendo gli apici, mi aspetto di ottenere una rotazione in senso orario di 45° (con centro di rotazione sempre l'origine):

${(x'= sqrt(2)x +y), (y'=sqrt(2)y-x) :}$

Mi sa che ho sbagliato perché le equazioni dovrebbero essere ${(x'=sqrt(2)x+ y'), (y'=sqrt(2)y-x') :}$,
giusto?

[DavidGnomo]

Salve.

Io mi trovo le seguenti:
Rotazione di 45° in senso anti-orario:
${ (x' = (\sqrt(2)/2)x - (\sqrt(2)/2)y), (y' = (\sqrt(2)/2)x + (\sqrt(2)/2)y) :} \Rightarrow {(x = \sqrt(2)x' + y),(y = \sqrt(2)y' - x):}$

Rotazione di 45° in senso orario:
${ (x' = (\sqrt(2)/2)x + (\sqrt(2)/2)y), (y' = (\sqrt(2)/2)y - (\sqrt(2)/2)x) :} \Rightarrow {(x = \sqrt(2)x' - y),(y = \sqrt(2)y' + x):}$

Non ho ben capito cosa vorresti dimostrare. Ovviamente colpa mia

[HowardRoark]

Volevo capire perché, ricavando l'inversa della rotazione di 45° in senso antiorario, le formule che trovavo non corrispondessero ad una rotazione, ma mi sa che mi sono semplicemente sbagliato ad invertire gli apici. Appena sono a casa riprovo.

[giammaria]

Le equazioni di una rotazione in senso antiorario di 45°sono queste:

${(x'=1/sqrt(2)x - 1/sqrt(2)y), (y'= 1/sqrt(2)x + 1/sqrt(2)y) :}$.

Ricavo $x$ ed $y$ in funzione di $x'$ e $y'$ ...

Ricavare quelle incognite significa fare in modo che esse non compaiano più al secondo membro, ma solo al primo, nella forma
${(x=...),(y=...):}$
Invece le vedo ancora a secondo membro, quindi non le hai affatto ricavate ed il tuo risultato non è la trasformazione inversa. Come si risolve un sistema? Applica la teoria che hai studiato allora e troverai le formule volute e non altre del tutto inutili.
Il metodo che suggerivo era di cominciare col sommare e sottrarre le due equazioni; ottieni
${(x'+y'=2/sqrt2 x),(-x'+y'=2/sqrt2 y):}$
Dividendo entrambe queste equazioni per $2/sqrt2=sqrt 2$ ottieni proprio le formule volute, a parte lo scambio fra primo e secondo membro.

[HowardRoark]

${(x'= sqrt(2)x +y'), (y'=sqrt(2)y-x') :}$ Riparto da qui perché avevo solo sbagliat ad invertire gli apici

${(x'=sqrt(2)x+sqrt(2)y-x'), (y'=sqrt(2)y-sqrt(2)x-y') :}$, ed ora ovviamente mi ritrovo anche con le formule del libro.